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Concept
Fibré principal
Résumé
En topologie, de manière informelle, un fibré principal sur un espace topologique X est un espace ressemblant localement à un produit de X par un groupe topologique. En particulier, un fibré principal est un espace fibré, mais c'est bien plus encore. Il est muni d'un groupe, le groupe structural, décrivant la manière dont les trivialisations locales se recollent entre elles. La théorie des fibrés principaux recouvre la théorie des fibrés vectoriels, de leurs orientations, de leurs structures riemanniennes, de leurs structures symplectiques, etc. Les fibrés principaux sont particulièrement importants dans l'étude des classes caractéristiques en topologie algébrique.
Soit G un groupe topologique qui agit continûment et librement à droite sur un espace topologique F, et X un espace topologique.
Un fibré M sur X de fibre F et de groupe structural G est la donnée d'un espace topologique M et d'une application continue surjective , appelée la projection, telle que :
Pour tout point x de X, il existe un voisinage ouvert U de x dans X, et un homéomorphisme , appelé trivialisation locale au-dessus de U.
Pour deux points x et y, il existe une application continue , appelée fonction de transition, telle que, pour tout m dans , on ait :
Selon le contexte, la définition peut se vouloir plus restrictive vis-à-vis des structures. En particulier, en géométrie différentielle, on demande que les espaces X et M soient des variétés, le groupe G un groupe de Lie et l'application et l'action différentiables. Mais essentiellement, la définition est la même.
Un fibré de groupe structural G et de fibre F est obtenu de la manière suivante. Considérons une famille (U) d'ouverts de X, et des applications vérifiant :
pour tout i, l'application f est l'identité ;
pour tous i, j, f = f ;
pour tous i, j et k, ff = f (condition de cocycle).
Un fibré G-principal est un fibré sur X, de groupe structural G, et de fibre G, où l'action de G sur G est l'application de multiplication à droite.
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