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Concept
Théorème de Borsuk-Ulam
Résumé
vignette|Stanislaw Ulam conjecture le théorème, mais ne parvient pas à le démontrer dans le cas général.
En mathématiques, le théorème de Borsuk-Ulam est un résultat de topologie algébrique. Il indique que pour toute fonction f continue d'une sphère de dimension n, c'est-à-dire la frontière de la boule euclidienne de Rn+1, dans un espace euclidien de dimension n, il existe deux points antipodaux, c'est-à-dire diamétralement opposés, ayant même par f.
Il fait partie des Contrairement au théorème de Jordan, il est peu intuitif. Il indique par exemple qu'à tout instant, il existe deux points antipodaux de la Terre ayant exactement la même température et la même pression (on suppose que ces deux grandeurs évoluent de façon continue).
Son premier usage concerne la topologie algébrique ; il permet par exemple de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer qui lui est analogue à certains égards. Il permet de démontrer des résultats au titre aussi amusant que leur démonstration est difficile, comme le théorème du sandwich au jambon ou encore le problème du partage d'un collier. À partir des années 1970, il devient un outil pour démontrer des résultats de dénombrement, liés à la théorie des graphes.
Ce théorème fut conjecturé par Stanislaw Ulam et prouvé par Karol Borsuk en 1933.
Théorème|Toute application continue de la sphère Sn–1 dans un espace euclidien de dimension n – 1 est telle qu'il existe deux points antipodaux ayant même image.
Connexité (mathématiques)
En dimension un, la preuve est une conséquence directe d'un résultat analogue au théorème des valeurs intermédiaires. Soit f la fonction continue du cercle, de centre le vecteur nul, dans R. On définit la fonction g du cercle dans R, qui à x associe g(x) = f(x) – f(–x). Le théorème revient à montrer que g possède un zéro. On remarque que la fonction g est impaire, c'est-à-dire que g(–x) = –g(x).
Soit x0 un point du cercle. Si g(x0) est nul, le théorème est démontré. Dans le cas contraire, l'image de g est connexe car le cercle l'est.
Source officielle
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