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Concept
Nombre de contact
Résumé
En géométrie, le nombre de contact ou nombre de Newton ou nombre de baisers (de l'anglais kissing number) d'un espace est défini comme le plus grand nombre de boules identiques qui peuvent être placées dans cet espace sans qu'elles ne se chevauchent et telles que chacune touche une boule identique commune. Le terme nombre de Newton renvoie à Isaac Newton, l'auteur du problème en trois dimensions.
Le problème du nombre de contact consiste à déterminer le plus grand nombre de contact pour des sphères n-dimensionnelles dans l'espace euclidien de dimension n + 1. Les sphères ordinaires correspondent à des surfaces fermées bidimensionnelles dans un espace tridimensionnel. Si les arrangements sont limités à des arrangements en treillis, dans lesquels les centres des sphères sont positionnés sur des points d'un treillis, alors ce nombre de contact est appelé le nombre de contact en treillis.
Déterminer le nombre de contact lorsque les centres des boules sont alignés sur une droite (le cas unidimensionnel) ou dans un plan (le cas à deux dimensions) est aisé. Une solution du cas tridimensionnel, bien qu'il soit facile à conceptualiser et à modéliser dans le monde physique, n'est connue que depuis le milieu du . Les solutions dans des dimensions supérieures sont considérablement plus difficiles, et seuls dans quelques cas connaît-on la solution exacte. Pour d'autres, des estimations sont données pour des bornes supérieures et inférieures, mais pas des solutions exactes.
droite|vignette| Une réalisation du nombre de contact 12 en trois dimensions consiste à aligner les centres des sphères externes sur les sommets d'un icosaèdre régulier. Cela laisse un espace entre deux sphères voisines qui est un peu plus grand qu'un dixième du rayon.
En dimension un, les boules sont juste des segments de droites dont la longueur est l'unité. Le nombre de contact est 2.
En deux dimensions, le nombre de contact est 6. Les boules sont des disques unitaires ; on peut imaginer qu'elles représentent des pièces de monnaie que l'on arrange pour qu'elles touchent toutes une pièce commune.
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