Groupe à opérateurs

La notion de groupe à opérateurs peut être considérée comme une généralisation de la notion mathématique de groupe. Elle permet de donner une forme plus forte à certains théorèmes classiques, comme le théorème de Jordan-Hölder. Un groupe à opérateurs est constitué de trois objets mathématiques : un groupe G, dit groupe sous-jacent (que nous noterons multiplicativement), un ensemble Ω dit domaine d'opérateurs une action de Ω sur G distributive par rapport à la loi de groupe de G, c'est-à-dire d'une application telle que, pour tout élément ω de Ω et tous éléments g, h de G Un groupe à opérateurs ne se réduit pas à son groupe sous-jacent, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier. Un groupe à opérateurs dont le domaine d'opérateurs est Ω est appelé un groupe à opérateurs dans Ω ou encore un Ω-groupe. Cas du groupe ordinaire : Un groupe ordinaire peut être assimilé à un groupe à opérateurs dans l'ensemble vide Ø. Ainsi, on peut considérer que certains théorèmes relatifs aux groupes sont des cas particuliers de théorèmes relatifs aux groupes à opérateurs. Pour tout élément ω de Ω, la transformation g ↦ g est un endomorphisme du groupe sous-jacent G. Un tel endomorphisme est parfois appelé une homothétie du Ω-groupe G. Si G est un groupe et Ω un ensemble, la donnée d'une structure de Ω-groupe sur G équivaut à la donnée d'une famille d'endomorphismes du groupe G indexée par Ω, ou encore à la donnée d'une application de Ω dans l'ensemble des endomorphismes du groupe G. Un groupe à opérateurs est dit commutatif, ou encore abélien, si son groupe sous-jacent est commutatif. Un module M sur un anneau A est un cas particulier de groupe à opérateurs abélien, le groupe abélien étant le groupe additif de M, l'ensemble d'opérateurs étant A et l'action de A sur M étant la loi externe du module. Le fait que M est ainsi un groupe à opérateurs dans A tient à la distributivité de la loi externe du module par rapport à l'addition des vecteurs. Les groupes à opérateurs abéliens ne sont évidemment pas tous des modules, mais on peut ramener leur étude à celle des modules.