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Concept
Constante de Khintchine
Résumé
En théorie des nombres, la constante de Khintchine est la limite, pour presque tout nombre irrationnel, de la moyenne géométrique des premiers coefficients du développement en fraction continue de ce nombre. C'est un résultat démontré par Alexandre Khintchine.
On a donc, pour presque tout :
Parmi les irrationnels qui n'ont pas cette propriété se trouvent par exemple la racine carrée de 2, celle de 3, le nombre d'or et le nombre e.
Parmi les irrationnels qui (si tant est que ces deux dernières soient irrationnelles, ce qu'on ignore). Néanmoins, ces énoncés ne sont pas démontrés. On ne sait pas si K est rationnel, algébrique, ou transcendant.
La constante K possède l’expression sous forme de produit infini : , et a pour développement décimal : .
La preuve qui suit est de et est bien plus simple que la preuve originale de Khintchine qui n'utilisait pas la théorie ergodique.
Remarquant que le coefficient a0 de la fraction continue de ne joue pas de rôle, et que les nombres rationnels sont de mesure nulle, on se ramène à montrer la propriété sur . Soit T:I → I définie par
La transformation T est un opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing. Pour tout borélien E de I, on définit de plus une mesure de Gauss-Kuzmin sur E
Alors μ est une mesure de probabilité sur la tribu borélienne de I. La mesure μ est équivalente à la mesure de Lebesgue sur I, mais T préserve la mesure μ. De plus, on peut montrer que T est une transformation ergodique de l'espace mesurable I muni de la mesure de probabilité μ (c'est la partie difficile). Le théorème ergodique implique alors que pour toute fonction μ-intégrable f sur I, la valeur moyenne de est la même pour presque tout :
En appliquant cela à f([a1, a2, ...]) = ln(a1), on obtient
pour presque tout [a1, a2, ...] dans I, ce qui conclut.
La constante de Khintchine peut être exprimée sous la forme
ou encore
où N est un entier, et ζ(s, n) la fonction zêta de Hurwitz complexe.
Source officielle
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