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Concept
Centre du cercle d'Euler
Résumé
En géométrie, le centre du cercle d'Euler, ou centre des neuf points est un centre du triangle, un point d'un triangle plat qui ne dépend que de l'existence du triangle.
Son nom vient du fait qu'il s'agit du centre du cercle d'Euler ou cercle des neuf points, qui passe par neuf points caractéristiques du triangle : les milieux des trois côtés, les pieds des trois hauteurs et les points milieux entre les sommets et l'orthocentre. Le centre du cercle d'Euler est référencé par X(5) dans l'Encyclopedia of Triangle Centers de Clark Kimberling.
Le centre du cercle d'Euler N est sur la droite d'Euler du triangle, au milieu du segment entre l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O. Ces trois points sont alignés avec le centre de gravité G, aux deux tiers du segment de l'orthocentre vers le centre du cercle circonscrit de sorte que
Ainsi, en connaissant deux de ces centres du triangle on peut construire les deux autres.
Andrew Guinand prouve en 1984, dans le cadre de ce qu'on appelle le problème de détermination du triangle d'Euler, que si les positions de ces centres sont données pour un triangle inconnu, alors le centre du cercle inscrit au triangle se trouve sur le cercle orthocentroïdal (le cercle de diamètre le segment entre l'orthocentre et le centre de gravité). Le seul point à l'intérieur du cercle qui ne peut pas être le centre du cercle inscrit est le centre du cercle d'Euler, et tout autre point intérieur du cercle et le centre du cercle inscrit d'un unique triangle.
La distance entre les centres du cercle d'Euler et du cercle inscrit I vérifie
avec R et r, les rayons des cercles circonscrit et inscrit respectivement.
Le centre du cercle d'Euler est le centre des cercles circonscrits de trois triangles liés au triangle de base : son triangle médian, son triangle orthique et son triangle d'Euler (le triangle formé des milieux des segments entre les sommets et l'orthocentre. De façon plus générale, par construction, il est le centre du cercle circonscrit de tout triangle dont les trois sommets sont sur le cercle d'Euler.
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