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Concept
Centre du triangle
Résumé
En géométrie plane, la notion de centre du triangle est une notion qui généralise celle de centre d'un carré ou d'un cercle. Certains points remarquables du triangle, comme le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit et l'orthocentre sont connus depuis la Grèce antique et constructibles simplement.
Chacun de ces centres classiques a la propriété d'être invariant (plus précisément équivariant) par similitudes. En d'autres termes, pour tout triangle et toute similitude (composée d'une rotation, d'une homothétie, et éventuellement d'une réflexion) le centre du triangle transformé est l'image du centre du triangle original par la même transformation. C'est cette invariance qui est actuellement la propriété définissante d'un centre du triangle, et exclut donc certains points remarquables comme les points de Brocard qui ne sont pas invariants par réflexion.
Les centres d'un triangle équilatéral coïncident avec son centre de gravité, mais sont généralement distincts pour un triangle quelconque. Les définitions et propriétés de milliers de ces points sont répertoriées par leur nombre de Kimberling dans lEncyclopedia of Triangle Centers (ETC).
Les géomètres de la Grèce antique connaissaient les centres "classiques" d'un triangle, mais ne parlaient pas de centre d'un triangle. Par la suite, d'autres points remarquables ont été découverts, comme le point de Fermat, le centre du cercle d'Euler, le point de Lemoine, le point de Gergonne ou le point de Feuerbach. Lors du regain d'intérêt pour la géométrie du triangle au cours des années 1980, il a été remarqué que ces points remarquables partagent certaines propriétés qui forment de nos jours la base de la définition formelle d'un centre d'un triangle. Au , la liste de Kimberling comptait 52 112 centres remarquables.
On considère un triangle , avec les notations classiques : .
La propriété d'équivariance par rotation d'un centre du triangle se traduit par le fait qu'un tel point a pour coordonnées trilinéaires dans :
où est une fonction non nulle de vers .
Source officielle
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