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Concept
Suite de Sylvester
Résumé
En théorie des nombres, la suite de Sylvester est une suite d'entiers telle que chaque terme est le produit de tous les termes précédents augmenté de 1, en partant d'un terme initial égal à 2. Les premiers termes de la suite sont :
2 ; 3 ; 7 ; 43 ; ; ; ; (Voir la ).
En hommage à la démonstration par Euclide de l'infinitude des nombres premiers, les termes de cette suite sont aussi parfois appelés "nombres d'Euclide".
La suite de Sylvester doit son nom à James Joseph Sylvester qui, le premier, étudia ses propriétés dans les années 1880. Ses termes présentent une croissance exponentielle double. La série formée de la somme des inverses de cette suite converge vers 1, plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.
La relation de récurrence qui définit les termes de la suite permet de factoriser ceux-ci plus facilement que toute autre série de croissance comparable, mais, du fait de la croissance rapide de la série, la décomposition en nombres premiers n'est connue que pour quelques termes. Des valeurs extraites de cette suite ont été utilisées pour construire des représentations de 1 sous forme de développement en fractions égyptiennes, et intervient dans l'étude des variétés d'Einstein .
La suite de Sylvester est définie par récurrence forte :
On vérifie alors que , si bien qu'on peut également la définir par récurrence simple :
On en déduit aussi une définition par récurrence double :
On obtient une suite strictement croissante d'entiers, donc de limite infinie.
Comme , la série de terme général est convergente d'après le critère de D'Alembert.
Un résultat remarquable est que la somme de cette série est égale à 1.
En effet, il résulte de la relation de récurrence [1] que :
La somme des termes de à se réduit alors, par téléscopage, à :
Puisque la suite tend vers l'infini, tend bien vers 1.
On peut donc écrire :
ce qui donne une représentation de 1 sous forme de somme infinie de fractions égyptiennes.
La même formule écrite sous la forme fournit un développement de 1/2 en somme infinie de fractions égyptiennes de dénominateurs impairs.
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