Concept

Forme trace

En mathématiques la forme trace est un concept associé à la théorie de Galois et à la théorie algébrique des nombres. Si L est une extension finie d'un corps commutatif K, la forme trace est la forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L, qui fait correspondre au couple la trace de l'application linéaire , de L dans L. Dans le cas d'un anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombres (c'est-à-dire d'une extension finie du corps Q des rationnels), la forme trace possède une propriété remarquable : son déterminant ne dépend pas de la base choisie. Cette propriété permet de définir le discriminant d'un tel anneau. La forme trace, à travers la notion de discriminant, permet d'établir des démonstrations d'arithmétique comme la finitude du groupe des classes d'idéaux ou le théorème des unités de Dirichlet. Ici, K est un corps commutatif, L une extension finie, α un élément de L et φ l'endomorphisme du K-espace vectoriel L qui, à x, associe αx. La trace de L sur K de l'élément α est la trace de l'endomorphisme φ. Elle est en général notée Tr(α). Ceci permet de définir une forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L : La forme trace de L sur K est l'application de L × L dans K qui, à (x, y), associe la trace de xy. Le corps Q(i) des rationnels de Gauss est le corps quadratique constitué des nombres de la forme z = , où x et y sont des rationnels et i l'unité imaginaire. Dans la base (1, i), la matrice de φ est : donc la trace de z (relative à l'extension) est le double de sa partie réelle. On en déduit, si a (resp. b) est un rationnel de Gauss égal à (resp. ) et Ψ désigne la matrice dans la base (1, i) de la forme trace : Le premier énoncé concerne le cas où L est une extension simple K(α). Les racines d'un polynôme unitaire sont considérées ici dans une extension où il est scindé, et sont répétées en cas de multiplicité (leur somme est donc l'opposé du coefficient sous-dominant de ce polynôme). De manière générale, la trace de L sur K de m est la somme des racines du polynôme caractéristique χ de φ, et si m = Q(α), alors φ = Q(φ) et les racines de χ sont les images par Q de celles de χ.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Séances de cours associées (1)
Publications associées (6)

Algebraic twists of GL(2) automorphic forms

Vignesh Arumugam Nadarajan

In this thesis we consider the problem of estimating the correlation of Hecke eigenvalues of GL2 automorphic forms with a class of functions of algebraic origin defined over finite fields called trace functions. The class of trace functions is vast and inc ...
EPFL2023

Large Sieve Inequalities for Algebraic Trace Functions

Philippe Michel, Ping Xi

The large sieve inequalities for algebraic trace functions are considered in this article. A fundamental iterative relation is established by classical Fourier analysis, and l-adic Fourier analysis and multiplicative convolutions of sheaves are also requir ...
Oxford Univ Press2017

Analytic twists of modular forms and applications

Alexandre François Peyrot

We are interested in the study of non-correlation of Fourier coefficients of Maass forms against a wide class of real analytic functions. In particular, the class of functions we are interested in should be thought of as some archimedean analogs of Frobeni ...
EPFL2017
Afficher plus
Personnes associées (1)
Concepts associés (2)
Corps de nombres
En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Discriminant d'un corps de nombres
droite|vignette|upright=1.6|Un domaine fondamental de l'anneau des entiers du corps K obtenu à partir de en adjoignant une racine de . Ce domaine fondamental se trouve à l'intérieur de . Le discriminant de K est 49 = 7. En conséquence, le volume du domaine fondamental est 7 et K n'est ramifié qu'en 7. En mathématiques, le discriminant d'un corps de nombres est un invariant numérique qui, moralement, mesure la taille de l'anneau des entiers de ce corps de nombres.

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.