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Concept
Forme trace
Résumé
En mathématiques la forme trace est un concept associé à la théorie de Galois et à la théorie algébrique des nombres.
Si L est une extension finie d'un corps commutatif K, la forme trace est la forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L, qui fait correspondre au couple la trace de l'application linéaire , de L dans L.
Dans le cas d'un anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombres (c'est-à-dire d'une extension finie du corps Q des rationnels), la forme trace possède une propriété remarquable : son déterminant ne dépend pas de la base choisie. Cette propriété permet de définir le discriminant d'un tel anneau.
La forme trace, à travers la notion de discriminant, permet d'établir des démonstrations d'arithmétique comme la finitude du groupe des classes d'idéaux ou le théorème des unités de Dirichlet.
Ici, K est un corps commutatif, L une extension finie, α un élément de L et φ l'endomorphisme du K-espace vectoriel L qui, à x, associe αx.
La trace de L sur K de l'élément α est la trace de l'endomorphisme φ. Elle est en général notée Tr(α).
Ceci permet de définir une forme bilinéaire symétrique sur le K-espace vectoriel L :
La forme trace de L sur K est l'application de L × L dans K qui, à (x, y), associe la trace de xy.
Le corps Q(i) des rationnels de Gauss est le corps quadratique constitué des nombres de la forme z = , où x et y sont des rationnels et i l'unité imaginaire. Dans la base (1, i), la matrice de φ est :
donc la trace de z (relative à l'extension) est le double de sa partie réelle.
On en déduit, si a (resp. b) est un rationnel de Gauss égal à (resp. ) et Ψ désigne la matrice dans la base (1, i) de la forme trace :
Le premier énoncé concerne le cas où L est une extension simple K(α). Les racines d'un polynôme unitaire sont considérées ici dans une extension où il est scindé, et sont répétées en cas de multiplicité (leur somme est donc l'opposé du coefficient sous-dominant de ce polynôme).
De manière générale, la trace de L sur K de m est la somme des racines du polynôme caractéristique χ de φ, et si m = Q(α), alors φ = Q(φ) et les racines de χ sont les images par Q de celles de χ.
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