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Concept
Discriminant d'un corps de nombres
Résumé
droite|vignette|upright=1.6|Un domaine fondamental de l'anneau des entiers du corps K obtenu à partir de en adjoignant une racine de . Ce domaine fondamental se trouve à l'intérieur de . Le discriminant de K est 49 = 7. En conséquence, le volume du domaine fondamental est 7 et K n'est ramifié qu'en 7.
En mathématiques, le discriminant d'un corps de nombres est un invariant numérique qui, moralement, mesure la taille de l'anneau des entiers de ce corps de nombres. Plus précisément, il est proportionnel au carré du volume du domaine fondamental de l'anneau des entiers, et il régule quels nombres premiers sont ramifiés.
Le discriminant est l'un des invariants les plus élémentaires d'un corps de nombres et apparaît dans plusieurs formules analytiques importantes telles que l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Dedekind de K et la formule analytique des nombres de classe pour K. Un théorème d'Hermite stipule qu'il n'y a qu'un nombre fini de corps de nombres de discriminant donné, mais la détermination de cette quantité est toujours un problème ouvert et fait l'objet de recherches.
Le discriminant de K peut être appelé discriminant absolu de K pour le distinguer du discriminant relatif d'une extension de corps de nombres. Ce dernier est un idéal dans l'anneau des entiers de L et comme le discriminant absolu, il indique quels nombres premiers sont ramifiés dans . C'est une généralisation du discriminant absolu permettant à L d'être plus grand que ; en effet, lorsque , le discriminant relatif de est l'idéal principal de engendré par le discriminant absolu de K.
Soit K un corps de nombres, et soit l'anneau de ses entiers. Soit une base intégrale de (c'est-à-dire une base en tant que -module libre), et soit l'ensemble des plongements de K dans (c'est-à-dire des morphismes de K dans le corps des nombres complexes). Le discriminant de K est le carré du déterminant de la matrice B dont le coefficient (i, j) est . Formellement,
De manière équivalente, on peut utiliser la trace de K sur .
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