Élément conjugué

En mathématiques, les éléments conjugués d'un élément algébrique x sur un corps K sont les racines de son polynôme minimal sur K, dans une extension L de K où ce polynôme est scindé. De façon équivalente, les conjugués de x sont les images de x par les automorphismes de L/K. Si α est un élément de K, son polynôme minimal sur K est X – α donc son seul conjugué sur K est lui-même. Si α = a + ib est un nombre complexe non réel, c'est-à-dire si sa partie imaginaire b est non nulle, alors son polynôme minimal sur R est (X – α)(X – ) = X – 2aX + a+b donc ses conjugués sur R sont α lui-même et son nombre complexe conjugué . Les racines cubiques de l'unité dans C sont Sur Q, j et j ont pour polynôme minimal commun X + X + 1 et sont conjugués. Plus généralement, les racines primitives n-ièmes de l'unité dans C ont pour polynôme minimal sur Q le n-ième polynôme cyclotomique et sont conjuguées sur Q. Le polynôme minimal de α sur K est scindé sur toute extension normale L de K contenant α (par exemple une clôture algébrique de K, ou même seulement un corps de décomposition du polynôme). Les conjugués de α sont alors les images de α par les éléments du groupe de Galois de l'extension. Soient α un entier algébrique non nul et , le plus grand des modules de ses conjugués sur Q. Kronecker a démontré que si est inférieur ou égal à 1 alors α est une racine de l'unité ; si est inférieur ou égal à 2 et α est totalement réel, c'est-à-dire si tous les conjugués de α sur Q appartiennent à l'intervalle réel [–2,2], alors α est de la forme 2 cos(πr) pour un certain rationnel r. Le point 1 peut se déduire du lemme suivant (utile par ailleurs dans la démonstration du théorème des unités de Dirichlet) : pour tout entier n et tout réel C, il n'existe qu'un nombre fini d'entiers algébriques α tels que le degré (du polynôme minimal) de α soit inférieur ou égal à n et que ≤ C. Il existe divers raffinements de ce point 1 fournissant, en fonction du degré de α, une majoration de || moins contraignante mais encore suffisante pour que α soit racine de l'unité.