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Concept
Équations de prédation de Lotka-Volterra
Résumé
En mathématiques, les équations de prédation de Lotka-Volterra, que l'on désigne aussi sous le terme de « modèle proie-prédateur », sont un couple d'équations différentielles non linéaires du premier ordre, et sont couramment utilisées pour décrire la dynamique de systèmes biologiques dans lesquels un prédateur et sa proie interagissent. Elles ont été proposées indépendamment par Alfred James Lotka en 1925 et Vito Volterra en 1926.
Ce système d'équations est classiquement utilisé comme modèle pour la dynamique du lynx et du lièvre des neiges, pour laquelle de nombreuses données de terrain ont été collectées sur les populations des deux espèces par la Compagnie de la baie d'Hudson au . Il a aussi été employé par Allan Hobson pour décrire les relations entre les neurones cholinergiques responsables du sommeil paradoxal et les neurones aminergiques liées à l'état de veille.
Elles s'écrivent fréquemment :
où
est le temps ;
est l'effectif des proies en fonction du temps ;
est l'effectif des prédateurs en fonction du temps ;
les dérivées et représentent la variation des populations au cours du temps.
Les paramètres suivants caractérisent les interactions entre les deux espèces :
taux de reproduction intrinsèque des proies (constant, indépendant du nombre de prédateurs) ;
taux de mortalité des proies dû aux prédateurs rencontrés ;
taux de reproduction des prédateurs en fonction des proies rencontrées et mangées ;
taux de mortalité intrinsèque des prédateurs (constant, indépendant du nombre de proies) ;
Une fois développées, les équations prennent une forme utile pour une interprétation physique.
L'équation de la proie est :
Les proies sont supposées avoir une source illimitée de nourriture et se reproduire exponentiellement si elles ne sont soumises à aucune prédation ; cette croissance exponentielle est représentée dans l'équation ci-dessus par le terme . Le taux de prédation sur les proies est supposé proportionnel à la fréquence de rencontre entre les prédateurs et les proies ; il est représenté ci-dessus par .
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