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Concept
Courbe de Bézier
Résumé
Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques développées pour concevoir des pièces de carrosserie d'automobiles. Elles ont été conçues par Paul de Casteljau en 1959 pour Citroën et, indépendamment, par Pierre Bézier en 1962 pour Renault (les travaux de Paul de Casteljau étant confidentiels, c'est le nom de Bézier qui est passé à la postérité). Elles ont de nombreuses applications dans la et le rendu de polices de caractères. Elles ont donné naissance à de nombreux autres objets mathématiques.
Il existait avant Bézier des courbes d'ajustement nommées splines, mais dont le défaut était de changer d'aspect lors d'une rotation de repère, ce qui les rendait inutilisables en CAO. Bézier partit d'une approche géométrique fondée sur la linéarité de l'espace euclidien et la théorie, déjà existante, du barycentre : si la définition est purement géométrique, aucun repère n'intervient puisque la construction en est indépendante, ce qui n'était pas le cas pour les splines (les splines conformes aux principes de Bézier seront par la suite nommées B-splines).
thumb|upright=1.5|Exemple de construction de courbe de Bézier.
La courbe de Bézier pour les n+1 points de contrôle (P, ..., P), est l'ensemble des points définis par la représentation paramétrique , pour t ∈ [0 ; 1] et où les B sont les polynômes de Bernstein.
La suite des points P, ..., P forme le « polygone de contrôle de Bézier ».
Exemples
Pour n = 2, les polynômes de Bernstein sont définis par :
Puis on ajoute les n+1 points de contrôle pour chaque coefficient du polynôme :
avec t ∈ [0 ; 1]. C'est donc la courbe de Bézier de degré 2.
Pour n = 3 on a :
Puis on ajoute les n+1 points de contrôle pour chaque coefficient du polynôme et on obtient,
avec t ∈ [0 ; 1]. C'est donc la courbe de Bézier de degré 3.
Remarque
Puisque les polynômes de Bernstein forment une partition de l'unité, on a . La somme des coefficients est donc non nulle pour tout t, donc tous les points P(t) de la courbe sont correctement définis.
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Proximité ontologique