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Concept
Identité d'Euler
Résumé
En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :
où la base e du logarithme naturel représente l'analyse, l'unité imaginaire i représente l'algèbre, la constante d'Archimède π représente la géométrie, .
Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais Roger Cotes, mort en 1716.
Puisque cos π = –1 et sin π = 0, cette formule est le cas particulier x = π de la formule d'Euler en analyse complexe (pour tout nombre réel x, e = cos x + i sin x).
C'est aussi le cas particulier n = 2 de la nullité de la somme des racines n-ièmes de l'unité.
Image:EulerIdentity2.png|
Image:EulerIdentity2b.png
Image:EulerIdentity8.png|Juxtaposition de 8 triangles rectangles
Image:EulerIdentity16.png|Juxtaposition de 16 triangles rectangles
Image:EulerIdentity2.svg|Illustration du résultat
L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.
or, les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.
L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique.
En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales :
0, l'élément neutre de l'addition.
1, l'élément neutre de la multiplication.
π, omniprésente en trigonométrie, en géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
Source officielle
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