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Concept
Racine de l'unité
Résumé
vignette|Les racines cinquièmes de l'unité (points bleus) dans le plan complexe.
En mathématiques, une racine de l'unité est un nombre complexe dont une puissance entière non nulle vaut 1, c'est-à-dire tel qu'il existe un nombre entier naturel non nul n tel que . Ce nombre est alors appelé racine n-ième de l'unité. Une racine n-ième de l'unité est dite primitive si elle est d'ordre exactement n, c'est-à-dire si n est le plus petit entier strictement positif pour lequel l'égalité est réalisée.
Pour un entier n donné, les racines n-ièmes de l'unité sont situées sur le cercle unité du plan complexe et sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés.
Les racines n-ièmes de l'unité du corps des complexes forment un groupe multiplicatif isomorphe au groupe additif Z/nZ. Les générateurs de ce groupe cyclique sont les racines primitives n-ièmes de l'unité.
On parle aussi de racine de l'unité et de racine primitive de l'unité dans un corps, voire un anneau unitaire quelconque. Les racines de l'unité forment toujours un groupe, mais qui n'est pas forcément cyclique.
Pour un entier naturel non nul n donné, on appelle racine n-ième de l'unité toute solution complexe de l'équation
d'inconnue z. Il existe exactement n racines n-ièmes de l'unité.
L'expression « racine n-ième » n'a pas valeur de norme, elle provient de l'habitude qu'ont souvent les mathématiciens de nommer un entier naturel par la lettre n. Si l'entier en question est noté p, on parlera de « racine p-ième », etc.
Les racines n-ièmes de l'unité forment un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des nombres complexes, avec 1 comme élément neutre.
Chaque élément de ce groupe a pour ordre l'entier d défini comme le plus petit entier strictement positif tel que z = 1. L'ordre d de la racine est un diviseur de n. Une racine n-ième de l'unité est dite primitive quand elle est d'ordre exactement n, c'est-à-dire quand c'est un générateur de ce groupe cyclique.
Les racines deuxièmes de l'unité sont les solutions de l'équation X - 1 = 0, qu'on peut résoudre en utilisant les identités remarquables pour trouver l'équation produit : .
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