Concept

Inégalité de Bernoulli

Résumé
vignette|Illustration de l'inégalité de Bernoulli pour n=3 En analyse, l'inégalité de Bernoulli — nommée d'après Jacques Bernoulli — énonce que : (1+x)^n>1+nx pour tout entier n > 1 et tout réel x non nul supérieur ou égal à −1. Démonstration par récurrence Soit un réel x\in\left[-1,0\right[\cup\left]0,+\infty\right[. Montrons l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence sur n.
  • Initialisation : (1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x donc la propriété est vraie pour n = 2.
  • Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que (1+x)^k>1+kx et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que (1+x)^{k+1}>1+(k+1)x.En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : (1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\ge(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x. *Conclusion : la prop
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