Anneau semi-primitif

En algèbre, un anneau est dit semi-primitif (ou Jacobson-semi-simple, ou J-semi-simple) si son radical de Jacobson est l'idéal nul. C'est un type d'anneau plus général que celui d'anneau semi-simple, mais dont les modules simples fournissent suffisamment d'informations sur l'anneau. Un anneau est semi-primitif si et seulement si pour tout , il existe tel que (le groupe des inversibles de ) ou encore si pour tout idéal non nul de , . Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il a un module à gauche semi-simple fidèle ou, ce qui est équivalent, s'il a un module à droite semi-simple fidèle. Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il est d'. Ces derniers sont décrits par le . En particulier : un anneau commutatif est semi-primitif si et seulement s'il est produit sous-direct de corps ; tout produit sous-direct d'anneaux unitaires simples est semi-primitif, mais la réciproque est fausse . Un anneau est semi-simple si et seulement s'il est semi-primitif et artinien à gauche. De tels anneaux sont parfois dits « artiniens semi-simples ». Tout anneau intègre tel que est semi-primitif. Par exemple : l'anneau des entiers et celui des entiers de Gauss sont semi-primitifs. L'anneau des entiers algébriques de tout corps de nombres est semi-primitif. Plus généralement, toute algèbre de type fini intègre sur un anneau semi-primitif intègre est semi-primitive. L'anneau des entiers algébriques est semi-primitif. L'anneau des fonctions continues d'un espace topologique dans est semi-primitif (car pour chaque point de , l'idéal des fonctions nulles en est maximal). De même, l'anneau des fonctions entières est semi-primitif. Tout produit d'anneaux semi-primitifs est semi-primitif. L'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension dénombrable est semi-primitif mais n'est pas un produit sous-direct d'anneaux simples. Tout est semi-primitif.