In the branch of abstract algebra known as ring theory, a left primitive ring is a ring which has a faithful simple left module. Well known examples include endomorphism rings of vector spaces and Weyl algebras over fields of characteristic zero. A ring R is said to be a left primitive ring if it has a faithful simple left R-module. A right primitive ring is defined similarly with right R-modules. There are rings which are primitive on one side but not on the other. The first example was constructed by George M. Bergman in . Another example found by Jategaonkar showing the distinction can be found in . An internal characterization of left primitive rings is as follows: a ring is left primitive if and only if there is a maximal left ideal containing no nonzero two-sided ideals. The analogous definition for right primitive rings is also valid. The structure of left primitive rings is completely determined by the Jacobson density theorem: A ring is left primitive if and only if it is isomorphic to a dense subring of the ring of endomorphisms of a left vector space over a division ring. Another equivalent definition states that a ring is left primitive if and only if it is a prime ring with a faithful left module of finite length (, Ex. 11.19, p. 191). One-sided primitive rings are both semiprimitive rings and prime rings. Since the product ring of two or more nonzero rings is not prime, it is clear that the product of primitive rings is never primitive. For a left Artinian ring, it is known that the conditions "left primitive", "right primitive", "prime", and "simple" are all equivalent, and in this case it is a semisimple ring isomorphic to a square matrix ring over a division ring. More generally, in any ring with a minimal one sided ideal, "left primitive" = "right primitive" = "prime". A commutative ring is left primitive if and only if it is a field. Being left primitive is a Morita invariant property. Every simple ring R with unity is both left and right primitive. (However, a simple non-unital ring may not be primitive.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Cours associés (1)
MATH-334: Representation theory
Study the basics of representation theory of groups and associative algebras.
Séances de cours associées (11)
Anneaux de division et idéaux
Couvre les anneaux de division, les champs et les idéaux en anneaux commutatifs avec des exemples en Z et en quaternions.
Anneaux et idéaux
Explore les anneaux, les domaines, les champs et les idéaux, en mettant l'accent sur les constructions et les propriétés.
Principaux domaines idéaux: Structure et homomorphismes
Couvre les concepts d'idéaux, de domaines idéaux principaux et d'homomorphismes d'anneaux.
Afficher plus
Publications associées (9)

Exploring SIDH-Based Signature Parameters

Tako Boris Fouotsa, Laurane Chloé Angélina Marco, Andrea Basso

Isogeny-based cryptography is an instance of post-quantum cryptography whose fundamental problem consists of finding an isogeny between two (isogenous) elliptic curves E and E′. This problem is closely related to that of computing the endomorphism ring of ...
Springer2024

Dense Packings via Lifts of Codes to Division Rings

Nihar Prakash Gargava, Vlad Serban

obtain algorithmically effective versions of the dense lattice sphere packings constructed from orders in Q-division rings by the first author. The lattices in question are lifts of suitable codes from prime characteristic to orders O in Q-division rings a ...
IEEE-INST ELECTRICAL ELECTRONICS ENGINEERS INC2023

Isogeny graphs of ordinary abelian varieties

Dimitar Petkov Jetchev, Benjamin Pierre Charles Wesolowski, Ernest Hunter Brooks

Fix a prime number l. Graphs of isogenies of degree a power of l are well-understood for elliptic curves, but not for higher-dimensional abelian varieties. We study the case of absolutely simple ordinary abelian varieties over a finite field. We analyse gr ...
Springer Heidelberg2017
Afficher plus
Personnes associées (1)
Concepts associés (9)
Noncommutative ring
In mathematics, a noncommutative ring is a ring whose multiplication is not commutative; that is, there exist a and b in the ring such that ab and ba are different. Equivalently, a noncommutative ring is a ring that is not a commutative ring. Noncommutative algebra is the part of ring theory devoted to study of properties of the noncommutative rings, including the properties that apply also to commutative rings. Sometimes the term noncommutative ring is used instead of ring to refer to an unspecified ring which is not necessarily commutative, and hence may be commutative.
Anneau semi-primitif
En algèbre, un anneau est dit semi-primitif (ou Jacobson-semi-simple, ou J-semi-simple) si son radical de Jacobson est l'idéal nul. C'est un type d'anneau plus général que celui d'anneau semi-simple, mais dont les modules simples fournissent suffisamment d'informations sur l'anneau. Un anneau est semi-primitif si et seulement si pour tout , il existe tel que (le groupe des inversibles de ) ou encore si pour tout idéal non nul de , .
Équivalence de Morita
En algèbre, et plus précisément en théorie des anneaux, l'équivalence de Morita est une relation entre anneaux. Elle est nommée d'après le mathématicien japonais Kiiti Morita qui l'a introduite dans un article de 1958. L'étude d'un anneau consiste souvent à explorer la catégorie des modules sur cet anneau. Deux anneaux sont en équivalence de Morita précisément lorsque leurs catégories de modules sont équivalentes. L'équivalence de Morita présente surtout un intérêt dans l'étude des anneaux non commutatifs.
Afficher plus

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.