Théorème de La Hire

Le théorème de La Hire est démontré dans le traité des roulettes (publié en 1706) du mathématicien français Philippe de La Hire, mais il était connu bien avant La Hire. Il peut être séparé en deux propositions : la première est que tout point fixe d'un cercle C de rayon r roulant sans glisser intérieurement sur un cercle C′ de rayon 2r décrit un diamètre de C′, la seconde plus générale est que dans les mêmes conditions tout point lié au cercle mobile C décrit une ellipse. Le diamètre décrit par un point de C est un cas dégénéré d'hypocycloïde (2 points de rebroussement). L'ellipse décrite par un point lié à C est un cas très particulier d'hypotrochoïde. La première proposition fournit la justification d'un mécanisme à base d'engrenages qui transforme un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne. Appelé autrefois engrenage de La Hire ou mouche de La Hire celui-ci est déjà décrit par Jérôme Cardan en 1570. Ce mouvement rectiligne sur un diamètre a aussi joué un rôle important dans l'histoire de l'astronomie : il a permis en 1247 à Nasir ad-Din at-Tusi de donner une version du modèle géocentrique du système solaire qui n'utilise pas le point équant de Ptolémée. Il a été utilisé ensuite par Nicolas Copernic pour la première version de son modèle héliocentrique, publié en 1543. Ni la première ni la seconde proposition ne sont dues à La Hire, qui n'en revendiquait d'ailleurs probablement pas la paternité. Ainsi le théorème, en particulier la première proposition, apparaît-il sous d'autres noms dans la littérature, Cardan (cercles de Cardan), Copernic, ou plus récemment al-Tusi après la redécouverte de ses travaux (couple d'al-Tusi). Au Proclus donnait déjà une forme assez voisine de ces deux propositions. La première proposition du théorème est une conséquence directe du théorème de l'angle inscrit dans un cercle (l'angle au centre est le double de l'angle inscrit associé), et la seconde se démontre par des considérations élémentaires de trigonométrie.