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Concept
Hypocycloïde
Résumé
Une hypocycloïde est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle dit directeur et à l'intérieur de celui-ci. Il s'agit donc d'un cas particulier de cycloïde à centre, qui est une catégorie de courbe cycloïdale.
Le mot est une extension de cycloïde, inventé en 1599 par Galilée,
et a la même étymologie : il vient du grec hupo (sous), kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, « semblable à »).
La courbe elle-même fut étudiée par Albrecht Dürer en 1525, Rømer en 1674 (qui la baptisa) et Daniel Bernoulli en 1725.
Une hypocycloïde peut être définie par l'équation paramétrique suivante :
où est le rayon du cercle de base et celui du cercle roulant. Avec , cette équation peut donc également s'écrire :
Il peut être utile de passer en notation complexe, et on obtient l'équation suivante :
Si on souhaite de plus faire intervenir le temps t pour exprimer la vitesse à laquelle est décrite le mouvement, il faut introduire les deux pulsations
La coordonnée complexe du centre du petit cercle est simplement et celle d'un point du petit cercle par rapport à son centre . La somme de ces deux nombres complexes donne alors la coordonnée complexe d'un point du petit cercle par rapport au centre du grand.
Ainsi et plus généralement, on peut définir une hypocycloïde par son équation dans le plan complexe :
avec la condition
En effet la condition exprime l'égalité des longueurs des arcs des petit et grand cercles parcourus durant le temps t par le point de frottement et donc indique que le petit cercle ne glisse pas dans sa rotation au sein du grand cercle. De ce fait lorsqu'un point du petit cercle, c'est-à-dire de l'hypocycloïde, entre en contact avec le grand cercle, sa vitesse est nulle ce qui correspond à un point de rebroussement.
Enfin, notons que la définition de l'équation (3) peut être interprétée géométriquement d'une autre manière (propriété de la double génération) en raison de la commutativité de la somme de deux vecteurs et que l'hypocycloïde est également la somme d'un petit mouvement circulaire auquel s'ajoute un grand mouvement circulaire en sens opposé .
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