Objet exceptionnel

De nombreuses branches des mathématiques étudient des objets d'un certain type et démontrent à leur sujet un . Ces classifications produisent en général des suites infinies d’objets, et un nombre fini d’exceptions n’appartenant à aucune de ces suites, et connues sous le nom d’objets exceptionnels. Ces objets jouent souvent un rôle important dans le développement de la théorie, et les objets exceptionnels de divers domaines ont fréquemment des relations les uns avec les autres. Polytope régulier Les premiers exemples d’objets exceptionnels proviennent de la classification des polytopes réguliers (convexes) : en deux dimensions, ils correspondent à la suite des polygones réguliers à n côtés (pour tout ) ; en toute dimension (supérieure à 2) il existe un analogue du cube, du tétraèdre régulier et de l’octaèdre régulier. À ces quatre suites s’adjoignent 5 polytopes exceptionnels : le dodécaèdre régulier et l’icosaèdre régulier en dimension 3, et, en dimension 4, le 120-cellules, le 600-cellules et le 24-cellules. En incluant les polytopes non convexes, on rencontre une situation analogue : une suite infinie de polygones réguliers étoilés en dimension 2 (essentiellement, un pour chaque rationnel p/q< 1), et exceptionnels, les quatre polyèdres de Kepler–Poinsot en dimension 3, et les 10 polychores de Schläfli-Hess en dimension 4 (il n'existe pas de polytopes réguliers non convexes en dimension supérieure à 4). Ces résultats se généralisent aux pavages, en particulier aux de l'espace euclidien (les nids d'abeille) ou de l'espace hyperbolique. Il existe divers objets exceptionnels en dimension < 6 et une famille infinie de pavages du plan hyperbolique, mais à partir de la dimension 6, on ne rencontre que quatre familles de pavages (correspondant au simplexe, à l'hypercube, et à deux autres réseaux duaux des précédents). Groupe sporadique thumb|Relations entre les groupes sporadiques (la plupart sont reliés au groupe monstre). Les groupes simples finis ont été classifiés en quatre familles infinies (groupes cycliques, alternés, classiques et de type de Lie) ; 26 groupes sporadiques n'appartiennent pas à ces familles.

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Dynkin diagram

In the mathematical field of Lie theory, a Dynkin diagram, named for Eugene Dynkin, is a type of graph with some edges doubled or tripled (drawn as a double or triple line). Dynkin diagrams arise in the classification of semisimple Lie algebras over algebraically closed fields, in the classification of Weyl groups and other finite reflection groups, and in other contexts. Various properties of the Dynkin diagram (such as whether it contains multiple edges, or its symmetries) correspond to important features of the associated Lie algebra.

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