Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Pfaffien
Résumé
En mathématiques, le pfaffien, ou le déterminant pfaffien, qui tire son nom du mathématicien allemand Johann Pfaff, est un scalaire qui intervient dans l'étude des matrices antisymétriques. Il s'exprime de façon polynomiale à l'aide des coefficients de la matrice. Ce polynôme est nul si la matrice est de taille impaire ; il ne présente d'intérêt que dans le cas des matrices antisymétriques de taille 2n × 2n, son degré est alors n. Le pfaffien d'une matrice A est noté .
Le pfaffien est relié au déterminant. En effet, le déterminant d'une telle matrice peut toujours être exprimé comme un carré parfait, et en fait le carré du pfaffien. Explicitement, pour une matrice antisymétrique de taille 2n × 2n, on a
Le terme « pfaffien » fut introduit par Arthur Cayley, qui l'utilisa en 1852 : « Les permutants de cette classe (par leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je les appellerai pfaffiens » . Le mathématicien allemand à qui il fait référence est Johann Friedrich Pfaff.
C'est en 1882 que Thomas Muir prouve le lien entre pfaffien et déterminant d'une matrice antisymétrique. Il publie ce résultat dans son traité sur les déterminants.
Soit A = {ai,j} une matrice antisymétrique 2n×2n. Le pfaffien de A est défini par :
où S2n est le groupe symétrique et sgn(σ) est la signature de σ.
Cette définition peut être simplifiée en utilisant l'antisymétrie de la matrice, ce qui évite d'additionner toutes les permutations possibles.
Soit Π l'ensemble de toutes les partitions de {1, 2, ..., 2n} en paires, indépendamment de l'ordre. Il y en a (2n − 1)!!. Un élément α ∈ Π peut être écrit sous la forme :
avec et . Soit
la permutation correspondante. π ne dépend que de α. Étant donné une partition α, on peut définir :
Le pfaffien de A est alors :
Le pfaffien d'une matrice antisymétrique n×n pour n impair est défini nul.
On peut associer, à toute matrice antisymétrique 2n×2n A ={aij}, un bivecteur :
où {e1, e2, ..., e2n} est la base canonique de R2n.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.