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Concept
Théorème de Descartes (géométrie)
Résumé
En géométrie, le théorème de Descartes, découvert par René Descartes, établit une relation entre quatre cercles tangents entre eux. Il peut être utilisé pour construire les cercles tangents à trois cercles donnés tangents deux à deux.
Les problèmes géométriques concernant des cercles tangents sont très anciens. En Grèce antique, trois siècles avant Jésus-Christ, Apollonius de Perga a consacré un livre entier à ce sujet ; malheureusement ce livre, Les Contacts, a disparu. La construction d'un cercle tangent à trois cercles donnés (le plus difficile des problèmes qui figurait dans ce livre) est souvent appelé Problème d'Apollonius. Regiomontanus en a donné une solution algébrique au mais ne croyait pas possible l'existence d'une solution géométrique, François Viète en a proposé la restauration à Adrien Romain, qui en a donné une solution bâtie sur des intersections d'hyperboles. Cette joute est l'occasion pour Viète de montrer la supériorité de son algèbre nouvelle par la publication de Apollonius Gallus. La grande finesse de Viète s'y montre à plein et Michel Chasles découvrira dans cet ouvrage les prémices de l'inversion plane.
René Descartes parle brièvement du problème en 1643, dans une lettre adressée à la princesse Élisabeth de Bohême. Il a fourni essentiellement la même solution que celle donnée dans la formule ci-dessous, c'est pourquoi son nom a été donné au théorème.
Émile Lemoine donne une solution géométrique du problème, minimale dans son système de mesure des constructions.
Frederick Soddy a redécouvert la formule en 1936, d'où le nom de formule de Soddy-Descartes donné parfois à cette formule .Les cercles solutions de l'équation sont appelés cercles de Soddy. Ils sont parfois connus sous le nom de kissing circles, peut-être parce que Soddy a choisi d'éditer sa version du théorème sous forme de poésie intitulée The Kiss precise, qui a été imprimé dans Nature le . Soddy a également étendu le théorème aux sphères. Une solution géométrique est détaillée ici .
Le théorème de Descartes s'énonce simplement en utilisant la courbure des cercles.
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