Problème des contacts

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le problème des contacts, appelé également problème d'Apollonius ou problème des trois cercles, est un des grands problèmes de l'Antiquité grecque. Il s'agit de trouver un cercle tangent à trois cercles donnés de rayons différents. Ce problème a été présenté par Pappus comme étant le dixième et le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius. En effet, il faudra attendre 1600 pour sa résolution par François Viète qui montrera qu'il admet au maximum huit solutions. Pour cela dans l'Apollonius Gallus, il va résoudre les dix problèmes présentés ci-dessous (sans traiter les cas particuliers). Le Traité des contacts, ouvrage perdu d'Apollonius, se proposait de déterminer des cercles astreints à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à être tangent à une droite ou un cercle donné, ce qui correspond à dix problèmes désignés par les symboles PPP, DDD, PPD, PPC... en représentant un point par P, une droite par D et un cercle par C. Cercle passant par trois points donnés (PPP): dans le cas où les trois points ne sont pas alignés, la solution est le cercle circonscrit au triangle formé par les trois points. Son centre est le point d'intersection des médiatrices du triangle; Cercle tangent à trois droites données (DDD) : dans le cas où les droites forment un triangle, les solutions sont les 4 cercles inscrit et exinscrits du triangle. Pour deux droites strictement parallèles et une sécante, le nombre de solutions se réduit à 2. Il est de 0 pour trois droites strictement parallèles; Cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée (PPD); Cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle donné (PPC); Cercle passant par un point donné et tangent à deux droites données (PDD); Cercle passant par un point donné et tangent à deux cercles donnés (PCC); Cercle passant par un point donné et tangent à une droite et un cercle donnés (PDC); Cercle tangent à deux droites et un cercle donnés (DDC); Cercle tangent à une droite et deux cercles donnés (DCC); Cercle tangent à trois cercles donnés (CCC): c'est souvent ce dernier problème seul, le plus difficile, qui est appelé «problème d'Apollonius» ou «problème des trois cercles».

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (13)

Personnes associées (3)

Unités associées (2)

Concepts associés (8)

Cours associés (2)

Séances de cours associées (18)

Distinct distances between points and lines

Frank de Zeeuw, Adrian Claudiu Valculescu, Shakhar Smorodinsky

We show that for m points and n lines in R-2, the number of distinct distances between the points and the lines is Omega(m(1/5)n(3/5)), as long as m(1/2)

Elsevier Science Bv2018

The present thesis deals with problems arising from discrete mathematics, whose proofs make use of tools from algebraic geometry and topology. The thesis is based on four papers that I have co-authored, three of which have been published in journals, and o ...

EPFL2017

Bisector Energy and Few Distinct Distances

Frank de Zeeuw

We define the bisector energy E(P) of a set P in R-2 to be the number of quadruples (a, b, c, d) is an element of P-4 such that a, b determine the same perpendicular bisector as c, d. Equivalently, E(P) is the number of isosceles trapezoids determined by P ...

Springer2016

Tangente à un cercle

En géométrie plane euclidienne, une tangente au cercle est une droite qui touche un cercle en un point unique, sans passer par l'intérieur du cercle. Les droites tangents aux cercles sont le sujet de nombreux théorèmes, et apparaissent dans de nombreuses constructions à la règle et au compas et des preuves. Une propriété souvent utilisée dans ces théorèmes est que la tangente en un point du cercle est orthogonale au rayon du cercle passant par le point de contact.

Théorème de Descartes (géométrie)

En géométrie, le théorème de Descartes, découvert par René Descartes, établit une relation entre quatre cercles tangents entre eux. Il peut être utilisé pour construire les cercles tangents à trois cercles donnés tangents deux à deux. Les problèmes géométriques concernant des cercles tangents sont très anciens. En Grèce antique, trois siècles avant Jésus-Christ, Apollonius de Perga a consacré un livre entier à ce sujet ; malheureusement ce livre, Les Contacts, a disparu.

Cercles d'Apollonius (fractale)

En mathématiques, la figure des cercles d'Apollonius est un empilement compact de cercles dans un cercle. Elle est construite en itérant la construction d'Apollonius des deux cercles tangents à trois cercles deux à deux tangents. Sa densité est égale à 1, ce qui signifie que l'aire laissée par les interstices est nulle. C'est aussi une figure de géométrie fractale dont on a calculé la dimension. Elle a été ainsi nommée en l'honneur du mathématicien grec Apollonius de Perge qui a posé le problème de la détermination des cercles tangents à trois cercles.

MATH-126: Geometry for architects II

Ce cours traite des 3 sujets suivants : la perspective, la géométrie descriptive, et une initiation à la géométrie projective.

MATH-328: Algebraic geometry I - Curves

Algebraic geometry is the common language for many branches of modern research in mathematics. This course gives an introduction to this field by studying algebraic curves and their intersection theor

Déplacez-vous dans le contexte historique et les propriétés mathématiques des sections coniques comme les parabolas, les ellipses et les hyperbolas.

Explore les nombres dintersection pour compter les solutions aux équations polynomiales algébriquement et leur signification géométrique dans la théorie des intersections et la géométrie énumérative.

Explore l'utilisation historique des sections coniques et gnomoniques dans les anciens cadrans solaires et les instruments astronomiques.