Problème des contacts

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le problème des contacts, appelé également problème d'Apollonius ou problème des trois cercles, est un des grands problèmes de l'Antiquité grecque. Il s'agit de trouver un cercle tangent à trois cercles donnés de rayons différents. Ce problème a été présenté par Pappus comme étant le dixième et le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius. En effet, il faudra attendre 1600 pour sa résolution par François Viète qui montrera qu'il admet au maximum huit solutions. Pour cela dans l'Apollonius Gallus, il va résoudre les dix problèmes présentés ci-dessous (sans traiter les cas particuliers). Le Traité des contacts, ouvrage perdu d'Apollonius, se proposait de déterminer des cercles astreints à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à être tangent à une droite ou un cercle donné, ce qui correspond à dix problèmes désignés par les symboles PPP, DDD, PPD, PPC... en représentant un point par P, une droite par D et un cercle par C. Cercle passant par trois points donnés (PPP): dans le cas où les trois points ne sont pas alignés, la solution est le cercle circonscrit au triangle formé par les trois points. Son centre est le point d'intersection des médiatrices du triangle; Cercle tangent à trois droites données (DDD) : dans le cas où les droites forment un triangle, les solutions sont les 4 cercles inscrit et exinscrits du triangle. Pour deux droites strictement parallèles et une sécante, le nombre de solutions se réduit à 2. Il est de 0 pour trois droites strictement parallèles; Cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée (PPD); Cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle donné (PPC); Cercle passant par un point donné et tangent à deux droites données (PDD); Cercle passant par un point donné et tangent à deux cercles donnés (PCC); Cercle passant par un point donné et tangent à une droite et un cercle donnés (PDC); Cercle tangent à deux droites et un cercle donnés (DDC); Cercle tangent à une droite et deux cercles donnés (DCC); Cercle tangent à trois cercles donnés (CCC): c'est souvent ce dernier problème seul, le plus difficile, qui est appelé «problème d'Apollonius» ou «problème des trois cercles».