Concept
En théorie des ensembles, plus précisément en théorie des classes, l'axiome de limitation de taille a été proposé par John von Neumann dans le cadre de sa théorie des classes. Il formalise en partie le principe de limitation de taille (traduction de l'anglais limitation of size), l'un des principes énoncés par Bertrand Russell pour développer la théorie des ensembles en évitant les paradoxes, et qui reprend des idées de Georg Cantor. Le principe est que certaines collections d'objets (d'ensembles en particulier) ont une taille trop grande pour constituer des ensembles, l'univers ensembliste et la classe des ordinaux en particulier. L'axiome de limitation de taille affirme, en substance, qu'une classe, une collection bien définie par une propriété, n'est pas un ensemble si et seulement si elle est équipotente à l'univers ensembliste tout entier, c'est-à-dire qu'elle peut être mise en relation de façon bijective avec celui-ci. Il permet de remplacer l'axiome de séparation, l'axiome de spécialisation et, de façon plus surprenante, l'axiome du choix — il a en fait pour conséquence le principe du choix (ou axiome du choix global), l'axiome du choix sur tout l'univers ensembliste. L'axiome de limitation de taille ne peut être énoncé que dans une théorie ayant pour objets des classes, toutes les classes n'étant pas des ensembles. C'est le cas de la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) ou de la théorie de Morse-Kelley (une variante plus forte de cette dernière). Les classes d'un modèle de la théorie NBG correspondent aux parties de l'univers d'un modèle de la théorie des ensembles ZFC qui sont définies par un prédicat du langage de la théorie des ensembles, comme la classe de tous les ensembles (définie par x = x), ou la classe des ordinaux, (définie par x est un ensemble transitif strictement bien ordonné par la relation d'appartenance).