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Concept

Nombre ordinal

vignette|Spirale représentant les nombres ordinaux inférieurs à ωω. En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, tout comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession. Georg Cantor a été amené (lors de ses travaux sur les séries trigonométriques) à nommer de même le concept qu'il avait introduit à cette occasion pour caractériser le type d'ordre des ensembles qu'il rencontrait, de façon plus précise qu'en les mesurant par leur cardinalité (leur « nombre d'éléments »). Les ordinaux finis peuvent en fait être identifiés aux entiers naturels qui s'identifient eux-mêmes aux cardinaux finis, mais, dans le cas des ensembles infinis, ce n'est plus vrai : tous les cardinaux sont encore identifiables à des ordinaux, mais la ré

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Numerical Approximation of Flows in Random Porous Media

Francesco Tesei

The objective of this thesis is to develop efficient numerical schemes to successfully tackle problems arising from the study of groundwater flows in a porous saturated medium; we deal therefore with partial differential equations(PDE) having random coefficients and we are interested in computing statistics related to specific quantities of interest (QoI), e.g. a linear functional of the solution of the PDE or the solution itself. We mainly consider the approximation of the pressure in the medium through a stochastic Darcy problem with random lognormally distributed permeability relying on Matérn-type covariance functions to take into account a wide range of possible smoothness of the permeability field. Once the problem has been reformulated in terms of a countable number of random variables, we analyze sparse grid polynomial approximations of the QoI. We propose different strategies to exploit the anisotropicity of the QoI with respect to the different random entries; to this end we consider a priori'' and a posteriori'' strategies to drive the exploration of the multi-index set that defines the sparse grid, associating a profit to each multi-index either by using explicit theoretical estimates or by actually solving the PDE and computing on the fly the corresponding sparse grid interpolant. We show on several numerical examples the effectiveness of this strategy in treating the case of smooth permeability fields. In order to cover also the case of rough input permeabilities we consider, instead, Multi Level Monte Carlo techniques based on the use of a suitable control variate. Such a control variate is obtained from the solution of an auxiliary Darcy problem with a regularized input permeability which leads to pressure distributions that are smoother and less oscillatory than the original ones, but still highly correlated with them. We use then a sparse grid approximation to compute effectively the mean of the control variate and provide explicit bounds for the corresponding estimator as well as a complexity result. We also consider groundwater transport problems and focus, in particular, on arrival times properly defined starting from particle trajectories driven by the stochastic Darcy velocity and subject to molecular diffusion taking place at porous level. In this case, by using suitable PDEs whose solution can be linked to specific expectations (with respect to all Brownian motions) thanks to the famous Feynman-Kac formula, we compute statistics of such arrival times, e.g. their expected value or the probability of exiting the physical domain in a given time horizon. We discuss several scenarios and readapt the methodologies previously developed involving adaptive sparse grid stochastic collocation and Monte Carlo type schemes to this case.

EPFL2016

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Error-correcting multi-stage code generator and decoder for communication systems having single transmitters or multiple transmitters

Mohammad Amin Shokrollahi

A communications system includes an encoder that produces a plurality of redundant symbols. For a given key, an output symbol is generated from a combined set of symbols including the input symbols and the redundant symbols. The output symbols are generally independent of each other, and an effectively unbounded number of output symbols can be generated, if needed. Received output symbols can provide probabilistic information for error correction. A decoder calculates check symbols from the output symbols received. For each received output symbol, the decoder updates a running total of estimated information content and, in one or more rounds, generates a probability distribution for each input symbol over all or some of possible values. This process may be repeated until, for all of the input symbols, one of the many possible values is much more probable than others, or the process may be repeated a predetermined number of rounds, or other criteria is met.

2014

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CS-101: Advanced information, computation, communication I

Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics as diverse as mathematical reasoning, combinatorics, discrete structures & algorithmic thinking.

MATH-604: Some Aspects of Calculus of Variations

The goal of this course is to present an overview on the solvability and the regularity of relevant models of physical, technological and economical systems, which may be formulated as minimization problems of suitable integral functionals.

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form: min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by pragmatic concerns). We also discuss several applications.

Théorie des ensembles

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble e

Nombre cardinal

vignette|Le nombre cardinal des deux ensembles X et Y est 4 En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s’appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En théorie des ense

Entier naturel

En mathématiques, un entier naturel est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes : un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois ca