Théorème de Minkowski

En mathématiques, le théorème de Minkowski concerne les réseaux de l'espace euclidien R. Étant donné un tel réseau Λ, il garantit l'existence, dans tout convexe symétrique de volume suffisant, d'un vecteur non nul de Λ. Hermann Minkowski a découvert ce théorème en 1891 et l'a publié en 1896, dans son livre fondateur de la géométrie des nombres. Ce résultat est en particulier utilisé en théorie algébrique des nombres. Ce résultat concernant le réseau Z est équivalent (par simple changement de variables) à son homologue pour un réseau quelconque Λ : Réseau (géométrie) Un réseau de R est une partie de la forme où est une base de R. Le réseau est donc composé des points dont les coordonnées dans la base B sont entières. On obtient un maillage régulier de l'espace, à l'image de la figure de droite. Les points du réseau sont représentés par les petites billes. Un domaine fondamental de Λ, dépendant de la base B, est constitué des points de R dont les coordonnées dans la base B sont dans l'intervalle [0, 1[. Il est illustré sur la figure de droite en rouge. Un domaine fondamental est toujours un parallélépipède. Le covolume de Λ est le volume d'un domaine fondamental. Il est donc égal à la valeur absolue du déterminant de B dans la base canonique (cette définition ne dépend pas du choix de B, car un changement de base du réseau est nécessairement de déterminant ±1). Le domaine fondamental du réseau Z associé à la base canonique est [0, 1[ donc le covolume de Z est 1. Le premier énoncé est ainsi un cas particulier du second. Mais inversement, par changement de variables, le second se déduit du premier, auquel nous nous consacrerons donc désormais. La valeur 2 est bien la plus petite possible. En effet, le convexe ]–1, 1[, de volume 2, ne contient que l'origine comme point à coordonnées entières. Cette situation est illustrée sur la figure de droite, le point bleu représentant l'origine. Un convexe de volume fini non nul étant borné, un convexe fermé de volume 2 est compact.