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Concept
Constante de Champernowne
Résumé
En mathématiques, la constante de Champernowne, noté est un nombre réel transcendant, nommé ainsi en l'honneur du mathématicien D. G. Champernowne qui l'a introduit en 1933. Il s'agit d'un nombre univers simple à construire, puisqu'il égrène, après la virgule, la suite croissante des entiers naturels :
La suite des chiffres de son écriture est un mot infini qui est important en combinatoire des mots : il a la propriété que toute séquence finie de chiffres consécutifs apparaît une infinité de fois dans la suite, mais que la distance qui sépare deux occurrences d'une même séquence de chiffres n'est pas bornée.
On dit qu'un nombre réel x est normal en base b si toutes les séquences de chiffres possibles d'une longueur donnée apparaissent avec la même probabilité dans son écriture en base b. Par exemple, x est normal en base dix si, dans son développement décimal, chacune des chaînes [0],[1],[2],...,[9] apparaît avec une probabilité égale à 1/10, chacune des chaînes [0,0],[0,1],...,[9,8],[9,9] avec une probabilité égale à 1/100, et ainsi de suite.
Champernowne a démontré que le nombre
est normal en base 10. Il est possible de créer des constantes de Champernowne qui sont normales dans les autres bases, de manière similaire, par exemple,
et ainsi de suite.
Ces constantes sont clairement irrationnelles, puisque le développement dans n'importe quelle base d'un rationnel est périodique à partir d'un certain rang. On peut aussi déduire cette irrationalité de la normalité en base b de C.
Kurt Mahler a démontré en 1937 le théorème suivant, dont on déduit que les constantes de Champernowne sont même transcendantes :
Dans le cas particulier où P(k) = k le nombre de l'énoncé est C, qui donc est transcendant.
Plus précisément, sa mesure d'irrationalité est égale à b.
Puisque C est irrationnelle, elle admet un développement en fraction continue infinie.
Source officielle
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