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Concept
Jean-Robert Argand
Résumé
Jean-Robert Argand, né le à Genève et mort le à Paris, est un mathématicien (amateur) suisse.
En 1806, alors qu'il tient une librairie à Paris, il publie une interprétation géométrique des nombres complexes comme points dans le plan, en faisant correspondre au nombre (où i est une des deux racines carrées de –1, l'autre étant -i) l'unique point de coordonnées (a, b) (isomorphisme). Pour cette raison, le plan, vu comme ensemble des nombres complexes, est parfois appelé le plan d'Argand. Argand est également connu pour une démonstration rigoureuse du théorème de d'Alembert-Gauss, publiée en 1814.
Dans son traité Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires par des constructions géométriques, Argand commence par associer à chaque nombre positif a une ligne horizontale , orientée vers la droite et de longueur a. Puis, il remarque qu'il peut associer à chaque nombre négatif –b une ligne horizontale surligner|KB, orientée vers la gauche et de longueur b. La somme consiste à la mise bout à bout de lignes. Les opérations du produit et de la racine carré consistent à travailler sur les proportionnalités :
(a, b) est proportionnel à (c, d) si les rapports et sont identiques (même valeur absolue et même signe)
Le produit de a par b devient donc le nombre ab tel que (1, a ) et (b, ab) soient proportionnels. La construction géométrique d'une quatrième proportionnelle est une construction connue depuis longtemps. Donc, Argand sait construire la ligne :
La racine carrée de x (positif) est le nombre y (positif) tel que (1, y) et (y, x) soient proportionnels. Cette construction est aussi réalisable (voir nombre constructible). Si est associé à 1, associé à y et associé à x, on dira que :
est à ce que est à .
On obtient :
ou encore :
Le problème qui se pose ensuite est de construire la racine carrée de –1. Si est le nombre associé à –1, il s'agit de trouver une ligne telle que
soit à ce que est à .
Ceci ne peut pas se réaliser en restant sur la droite.
Source officielle
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