Plan complexe

En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Le nombre complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point. Définition On associe en général le plan complexe à un repère (O,\vec u,\vec v) orthonormé direct. Dans un tel repère, tout point M est l'image d'un unique nombre complexe z qui est appelé affixe de cet unique point (le genre du nom affixe est discuté : le dictionnaire de l'Académie française le renseigne comme masculin, les dictionnaires commerciaux l'annoncent comme féminin) : on note M(z). Pour tout nombre complexe z tel que z=a+ ib où a et b sont des réels

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A reduced basis approach to large-scale pseudospectra computation

Petar Sirkovic

For studying spectral properties of a nonnormal matrix A is an element of Cnxn, information about its spectrum sigma(A) alone is usually not enough. Effects of perturbations on sigma(A) can be studied by computing epsilon-pseudospectra, i.e. the level sets of the resolvent norm function g(z)=||(zI-A)-1||2. The computation of epsilon-pseudospectra requires determining the smallest singular values sigma min(zI-A) for all z on a portion of the complex plane. In this work, we propose a reduced basis approach to pseudospectra computation, which provides highly accurate estimates of pseudospectra in the region of interest, in particular, for pseudospectra estimates in isolated parts of the spectrum containing few eigenvalues of A. It incorporates the sampled singular vectors of zI - A for different values of z, and implicitly exploits their smoothness properties. It provides rigorous upper and lower bounds for the pseudospectra in the region of interest. In addition, we propose a domain splitting technique for tackling numerically more challenging examples. We present a comparison of our algorithms to several existing approaches on a number of numerical examples, showing that our approach provides significant improvement in terms of computational time.

WILEY2019

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MATHICSE Technical Report : A reduced basis approach to large-scale pseudospectra computation

Petar Sirkovic

For studying spectral properties of a non-normal matrix A ∈ Cn×n, information about its spectrum σ(A) alone is usually not enough. Effects of perturbations on σ(A) can be studied by computing ε-pseudospectra, that is the level-sets of the resolvent norm function g(z) = ‖(zI − A)−1‖2. The computation of ε-pseudospectra requires determining the smallest singular values σmin(zI − A) on for all z on a portion of the complex plane. In this work, we propose a reduced basis approach to pseudospectra computation that provides highly accurate estimates of pseudospectra in the region of interest. It incorporates the sampled singular vectors of zI − A for different values of z and implicitly exploits their smoothness properties. It provides rigorous upper and lower bounds for the pseudospectra in the region of interest. We also present a comparison of our approach to several existing approaches on a number of numerical examples, showing that our approach provides significant improvement in terms of computational time.

MATHICSE2016

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Generalized eigenvalue problems with specified eigenvalues

Daniel Kressner

We consider the distance from a (square or rectangular) matrix pencil to the nearest matrix pencil in 2-norm that has a set of specified eigenvalues. We derive a singular value optimization characterization for this problem and illustrate its usefulness for two applications. First, the characterization yields a singular value formula for determining the nearest pencil whose eigenvalues lie in a specified region in the complex plane. For instance, this enables the numerical computation of the nearest stable descriptor system in control theory. Second, the characterization partially solves the problem posed in Boutry et al. (2005, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 27, 582-601) regarding the distance from a general rectangular pencil to the nearest pencil with a complete set of eigenvalues. The involved singular value optimization problems are solved by means of Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno and Lipschitz-based global optimization algorithms.

Oxford University Press2014

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MATH-101(g): Analysis I

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable.

MATH-410: Riemann surfaces

This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex domains under discontinuous group actions, as algebraic curves.

ME-523: Nonlinear Control Systems

Les systèmes non linéaires sont analysés en vue d'établir des lois de commande. On présente la stabilité au sens de Lyapunov, ainsi que des méthodes de commande géométrique (linéarisation exacte). Divers exemples illustrent la théorie (exercices papier crayon et simulations à l'ordinateur).

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En mathématiques, l'ensemble des nombres complexes est actuellement défini comme une extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire noté i tel que i = −1. L

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