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Concept
Valeur d'adhérence
Résumé
En topologie, si (u) est une suite à valeurs dans un ensemble E, une valeur d'adhérence de la suite (u) est un point de E près duquel s'accumulent une infinité de termes de la suite. Pour donner un sens mathématique à cela, il faut pouvoir mesurer la proximité, ce qui nécessite de munir E d'une topologie. La notion de valeur d'adhérence dépend alors de la topologie choisie. Dans un espace où tout point admet une base dénombrable de voisinages (c'est le cas notamment dans un espace métrique, comme R ou C) les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses suites extraites. Cette dernière propriété est souvent prise comme définition d'une valeur d'adhérence, mais n'est cependant pas équivalente à la définition la plus générale.
Soient (u) une suite réelle et y un nombre réel, on dit que y est une valeur d'adhérence de (u) si
pour tout réel , l'ensemble est infini
ou, ce qui est équivalent, si
pour tout réel , .
Le fait que R est un espace métrique permet de caractériser plus simplement les valeurs d'adhérence d'une suite réelle : y est une valeur d'adhérence de (u) si et seulement si
il existe une sous-suite de (u) qui converge vers y.
La suite ((–1)) admet 1 et –1 comme valeurs d'adhérence. En effet, les termes pairs sont constants à 1 et les termes impairs constants à –1.
La suite (sin(n)) admet l'intervalle [–1, 1] comme ensemble de valeurs d'adhérence. Ceci résulte du fait que Z + 2πZ est dense dans R.
La suite ((–1)n) n'admet pas de valeur d'adhérence dans R. Mais dans la droite réelle achevée, la même suite admet +∞ et –∞ comme valeurs d'adhérence.
La suite ((–1)n + n) admet 0 comme unique valeur d'adhérence mais ne converge pas. Dans la droite réelle achevée, la même suite admet +∞ et 0 comme valeurs d'adhérence.
La notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un espace topologique généralise celle de valeur d'adhérence d'une suite réelle sous sa formulation propriété 2, laquelle signifiait, dit informellement, que chaque intervalle ]y – ε, y + ε[ contient « une infinité de termes » de la suite.
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