Formule de Moivre
thumb|upright|Abraham de Moivre a donné son nom à la formule. La formule de Moivre affirme que, pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif n : Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de –1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits. Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Parfois la formule est réécrite en remplaçant « » par « ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance n, on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous. Pour x réel, l'égalité « » entraîne que le nombre complexe a pour Dans le plan d'Argand, les nombres complexes de forment le cercle C de centre O et de (le cercle unité). En particulier, le point M d'affixe z appartient à C. Si I est le point l'angle (OI, OM) mesure . La formule de Moivre affirme que z est l'affixe du point N de C tel que l'angle orienté (OI, ON) mesure . La formule de Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si z et w sont deux nombres complexes de , on place les points M et N d'affixes respectives z et w, et on obtient zw comme l'affixe du point P de C tel que . On dispose alors de la formule générale : qui (en développant le membre de gauche) équivaut aux formules d'addition pour le cosinus et le sinus. Histoire des nombres complexes thumb|Timbre à l'effigie d'Euler. La forme courante de la formule apparaît dans l'Introduction à l'analyse infinitésimale d'Euler qui la démontre, pour tout entier naturel n, en 1748. Mais elle apparait de manière implicite chez Abraham de Moivre à plusieurs reprises à partir de 1707, dans ses travaux sur les racines n-ièmes de nombres complexes. Les deux problèmes sont effectivement liés : écrire que est équivalent à dire que est une des racines n-ièmes du complexe .
