Programme de Hilbert

Le programme de Hilbert est un programme créé par David Hilbert dans le but d'assurer les fondements des mathématiques. Les conceptions scientifiques de David Hilbert ont une grande influence sur les mathématiciens de son époque. Hilbert s'oppose fermement au pessimisme scientifique prôné en particulier par le physiologiste Emil du Bois-Reymond, pour qui il est des questions en sciences qui resteront toujours sans réponse, une doctrine connue sous le nom d'« Ignorabimus » (du latin ignoramus et ignorabimus : « Nous ne savons pas et nous ne saurons jamais »). Hilbert, pour qui , propose, au contraire, dans une allocution de 1930, de s’appuyer sur un slogan resté célèbre : (Wir müssen wissen. Wir werden wissen). La découverte de paradoxes dans les théories proposées par Cantor et Frege sur les fondements des mathématiques ébranle la confiance en ceux-ci. Certes, on a de nouvelles théories des ensembles qui sont exemptes des paradoxes connus, mais comment s'assurer qu'on n'en trouverait pas de nouveaux ? Hilbert s'oppose également violemment à l'intuitionnisme du mathématicien néerlandais Brouwer, que promeut ce dernier pour résoudre la crise des fondements, et qui est une remise en cause radicale de ceux-ci. Brouwer juge que le tiers exclu, un principe logique qui affirme qu'une proposition est soit vraie soit fausse, s'il repose sur une intuition solide quand on manipule le fini, ne peut être un principe du raisonnement, dès que l'on manipule l'infini. Une preuve d'existence doit être effective. Il ne suffit pas, pour montrer telle proposition, de montrer que sa négation entraînerait une contradiction. Cette position, cohérente sur le plan des idées, et qui séduit des mathématiciens de valeur - outre Brouwer lui-même, Hermann Weyl pendant un temps - a pour principal défaut, de remettre en cause des pans entiers des mathématiques. Pour régler la question des fondements, Hilbert conçoit un programme dont il établit les prémisses en 1900 dans l'introduction à sa célèbre liste de problèmes, le second problème étant celui de la cohérence de l'arithmétique.