Conjecture de Catalan

La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en par Preda Mihăilescu. Ce théorème s'énonce de la façon suivante : (Une puissance parfaite est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64.) En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation xa − yb = 1 pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3. La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois. Catalan a formulé sa conjecture en 1844, sa résolution s'est écoulée sur 150 ans. En 1850, Victor-Amédée Le Besgue montre que pour tout nombre premier , l'équation n'a pas de solution non triviale en nombres entiers. En 1965, Ke Zhao montre que si est un nombre premier alors les solutions triviales et sont les uniques solutions de l'équation . Démontré en 1976, le théorème de Tijdeman affirme que l'équation de Catalan ne possède qu'un nombre fini de solutions. Preda Mihăilescu démontre la conjecture de Catalan en 2003, en se plaçant dans le cadre de la théorie des corps cyclotomiques et ce de manière inattendue car cette théorie est insuffisante pour résoudre d'autres équations diophantiennes comme notamment celle du grand théorème de Fermat. La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles. La table suivante (voir pour le plus petit k et pour le nombre de solutions) donne les valeurs connues en 2005 pour n< 65. ou Jacques Boéchat et Maurice Mischler, La conjecture de Catalan racontée à un ami qui a le temps, 2005. . Vincent Brayer, Méthodes algébriques dans la conjecture de Catalan, École polytechnique fédérale de Lausanne, Département de mathématiques, Lausanne, févr. 2004, iv + 46 pp. Henri Cohen, Démonstration de la conjecture de Catalan, Laboratoire A2X, U.