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Équation diophantienne

Résumé

vignette|Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante. Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation polynomiale à une ou plusieurs inconnues dont les solutions sont cherchées parmi les nombres entiers, éventuellement rationnels, les coefficients étant eux-mêmes également entiers. La branche des mathématiques qui s'intéresse à la résolution de telles équations s'est appelée longtemps l'analyse indéterminée avant de se fondre dans l'arithmétique ou la théorie des nombres. Si l'expression du problème posé est parfois simple, les méthodes de résolution peuvent devenir complexes. Carl Friedrich Gauss, au , écrivait de la théorie des nombres que Certaines équations diophantiennes ont demandé pour leur résolution les efforts conjugués de nombreux mathématiciens sur plusieurs siècles. Gauss se plaignait Le dernier théorème de Fermat est un exemple archétypal ; il est conjecturé par Pierre de Fermat et démontré en 1994 par Andrew Wiles, après 357 ans d'efforts de la part

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne

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L'algèbre al-Badi d'al-Karagi

Christophe Hebeisen

This work contains the study of the algebra called al-Badī‘ fī al-ḥisāb (literally : "the Wonderful on calculation"), written by the Persian mathematician Abu Bakr Muḥammad ibn al-Ḥusain al-Karaǧi (previously known as al-Karẖī, native from Karaǧ, Persia. Written c. 1010 in Bagdad, this work takes an important place in history of mathematics in general. Of particular interest are the first known appearance of a theory on root extracting of algebraic polynomials, and the beginning of a tendency to get rid of illustrating formulas and the resolutions of equations with help of geometric figures, which makes it a pure algebraic text. This work of high level adresses to a public with advanced mathematic knowledge. This algebra is, by will of the author, written in three main parts (books), containing part of Euclid's Elements (book I), a theory on root extracting of algebraic polynomials (book II), and a collection of problems on indeterminate analysis (book III). Some chapters are written hastily, while others go into the details. We provide a complete translation of the Badī‘, based on the transcription of the manuscript 36,1 of the Vatican library Barberini Orientale by Adel Anbouba (edited in Beyrouth in 1964), as well as a glossary. This translation comes with a mathematical commentary, and includes a list of significant words used by the author. We will also relate this algebra with other prior and later works containing the same problems.

EPFL2009

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Existence of a nontrivial solution to a strongly indefinite semilinear equation

Boris Buffoni, Charles Stuart

1993

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We introduce the

N\times N

random matrices

X_{j,k}=\exp\left(2\pi i \sum_{q=1}^d\ \omega_{j,q} k^q\right) \quad \text{with } \{\omega_{j,q}\}_{\substack{1\leq j\leq N\\ 1\leq q\leq d}} \text{ i.i.d. random variables},

and

d

a fixed integer. We prove that the distribution of their singular values converges to the local Marchenko-Pastur law at scales

N^{-\theta_d}

for an explicit, small

\theta_d>0

, as long as

d\geq 18

. To our knowledge, this is the first instance of a random matrix ensemble that is explicitly defined in terms of only

O(N)

random variables exhibiting a universal local spectral law. Our main technical contribution is to derive concentration bounds for the Stieltjes transform that simultaneously take into account stochastic and oscillatory cancellations. Important ingredients in our proof are strong estimates on the number of solutions to Diophantine equations (in the form of Vinogradov's main conjecture recently proved by Bourgain-Demeter-Guth) and a pigeonhole argument that combines the Ward identity with an algebraic uniqueness condition for Diophantine equations derived from the Newton-Girard identities.

2020

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We introduce the

N\times N

random matrices

X_{j,k}=\exp\left(2\pi i \sum_{q=1}^d\ \omega_{j,q} k^q\right) \quad \text{with } \{\omega_{j,q}\}_{\substack{1\leq j\leq N\\ 1\leq q\leq d}} \text{ i.i.d. random variables},

and

d

a fixed integer. We prove that the distribution of their singular values converges to the local Marchenko-Pastur law at scales

N^{-\theta_d}

for an explicit, small

\theta_d>0

, as long as

d\geq 18

. To our knowledge, this is the first instance of a random matrix ensemble that is explicitly defined in terms of only

O(N)

2020