Catégorie préabélienne

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une catégorie préabélienne est une catégorie additive qui contient tous les noyaux et conoyaux. De manière plus détaillée, cela signifie qu'une catégorie C est pré-abélienne si: C est préadditive, c'est-à-dire enrichie sur une catégorie monoïdale de groupes abéliens (de manière équivalente, toutes les collections de morphismes d'un objet de C vers un objet de C sont des groupes abéliens et une composition de morphismes est bilinéaire) C contient tous les produits finis (de manière équivalente, tous les coproduits finis). On notera que, comme C est aussi préadditive, les produits finis sont les mêmes que les coproduits finis étant donné que tout morphisme f: A → B dans C, l'égaliseur de f, et que le morphisme zéro de A à B existe (par définition, c'est le noyau de f), ainsi que le coégaliseur (qui est par définition le conoyau de f). On notera que le morphisme zéro au point 3 peut être identifié à l'élément neutre de l'ensemble des morphismes de A vers B Hom(A,B), qui est, d'après le point 1, un groupe abélien ou au morphisme unique A → O → B, où O est un objet zéro, dont l'existence est garantie par le point 2. Le premier exemple d'une catégorie additive est la catégorie Ab des groupes abéliens. Ab est préadditive parce que c'est une catégorie monoidale fermée, que le biproduit en Ab est la somme directe finie, que le noyau est l'inclusion du noyau ordinaire de la théorie des groupes et le conoyau est le "quotient map" sur le conoyau ordinaire de la théorie des groupes. Autres exemples courants: La catégorie des modules (à gauche) sur un anneau R, en particulier : la catégorie des espaces vectoriels sur un corps commutatif K. La catégorie des groupes topologiques abéliens (de Hausdorff). La catégorie des espaces de Banach. La catégorie de espaces de Fréchet. La catégorie des espaces bornologiques (de Hausdorff). Pour plus d'exemples, voir catégorie abélienne (toute catégorie abélienne est préabélienne).