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Concept
Cardioïde
Résumé
La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale dont la directrice est un cercle (ou épicycloïde).
Son nom vient du grec kardia (cœur), en référence à sa forme, et lui fut donné par Jean Castillon.
D'abord étudiée comme un cas particulier du limaçon de Pascal, la première évocation de la cardioïde en tant qu'épicycloïde remonte à 1674 : Rømer l'étudia au cours de ses recherches sur la forme la plus adaptée aux dents des engrenages. En 1708, La Hire détermina son périmètre (8 fois le diamètre du cercle directeur). Castillon la décrit plus en détail et la baptisa dans un document qu'il publia en 1741. Néanmoins, comme il s'agit d'un cas particulier de limaçon de Pascal (courbe étudiée par Étienne Pascal, le père de Blaise), on peut dire que son histoire commence bien avant les travaux de La Hire et Castillon.
La courbe peut être définie par l'équation cartésienne suivante :
On peut également la définir par une équation polaire :
ou par une équation paramétrique :
La cardioïde est :
une conchoïde de cercle relativement à un point situé sur le cercle, avec une raison égale au diamètre du cercle. Il s'agit donc d'un cas particulier de limaçon de Pascal ;
une podaire de cercle par rapport à l'un de ses points ;
l'enveloppe des cercles dont le centre décrit un cercle donné (C), et qui passent par un point donné A de ce cercle (C) ;
une inverse de parabole par rapport à son foyer.
dans le plan complexe, l'image du cercle de centre 1 et de rayon 1 par la fonction .
Le périmètre d'une cardioïde formée à partir d'un cercle de diamètre vaut ; son aire vaut .
Comme pour toute courbe cycloïdale, la développée de la cardioïde est une cardioïde homothétique.
La cardioïde est une caustique de cercle par réflexion avec la source lumineuse située sur le cercle. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.
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