Enveloppe (géométrie)

En géométrie différentielle, une famille de courbes planes possède fréquemment une courbe enveloppe. Celle-ci admet deux définitions géométriques traditionnelles, presque équivalentes : l'enveloppe est une courbe tangente à chacune des courbes de la famille ; elle est le lieu des points caractéristiques, points d'intersection de deux courbes infiniment proches. De façon plus précise, l'enveloppe possède une définition analytique, c'est l'ensemble des points critiques de l'application de projection associée à la famille de courbes. Les enveloppes rendent compte de certains phénomènes très communs, tels que les caustiques. Elles sont utiles en analyse pour décrire les solutions singulières des équations différentielles ou aux dérivées partielles, comme enveloppes de solutions régulières. On définit de même l'enveloppe d'une famille de surfaces dans l'espace, ou plus généralement d'une famille d'hypersurfaces ou même de variétés en dimension quelconque. On considère une famille de courbes Γλ, indexée par un paramètre λ. Pour chaque valeur de λ, l'équation de la courbe est supposée de la forme fλ(x, y) = 0. On suppose enfin que la famille dépend du paramètre de façon différentiable, c'est-à-dire que est une application différentiable. On cherche les conditions sur une courbe pour qu'au point de paramètre λ elle soit tangente à la courbe définie par fλ. Une telle courbe est solution du système d'équations On appelle enveloppe de la famille de courbes Γλ la courbe vérifiant ce système d'équations. L'existence de l'enveloppe n'est pas toujours assurée. Ainsi une famille de droites parallèles ou une famille de cercles concentriques ne possèdent pas d'enveloppe. Mais si elle existe, la courbe enveloppe est « en général » tangente à toutes les courbes de la famille (le système d'équations est seulement une condition nécessaire pour cela ; la question est reprise en détail plus bas). La famille de courbes peut aussi être donnée en représentation paramétrique, avec des équations , les fonctions en jeu étant différentiables.