In mathematics, the term adjoint applies in several situations. Several of these share a similar formalism: if A is adjoint to B, then there is typically some formula of the type
(Ax, y) = (x, By).
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The starting point for this project is the article of Kathryn Hess [11]. In this article, a homotopic version of monadic descent is developed. In the classical setting, one constructs a category D(
Using Kadeishvili's formulas with appropriate signs, we show that the classical cobar construction from coalgebras to algebras \Omega: CoAlg -> Alg can be enhanced to a functor from Hopf algebras to E