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Concept
Convergence de mesures
Résumé
En mathématiques, plus spécifiquement en théorie des mesures, il existe différentes notions de convergence de mesures . Pour un sens général intuitif de ce que l'on entend par convergence en mesure, considérons une suite de mesures sur un espace, partageant une collection commune d'ensembles mesurables. Une telle suite pourrait représenter une tentative de construire des approximations «de mieux en mieux» d'une mesure souhaitée qui est difficile à obtenir directement. Le sens de «de mieux en mieux» est soumis à toutes les mises en garde habituelles pour prendre des limites ; pour toute tolérance d'erreur , nous exigeons que N soit suffisamment grand pour n ≥ N afin de garantir que la «différence» entre et soit inférieure à . Diverses notions de convergence spécifient précisément ce que le mot «différence» devrait signifier dans cette description ; ces notions ne sont pas équivalentes et varient en force.
Trois des notions de convergence les plus communes sont décrites ci-dessous.
Cette section tente de fournir une description intuitive approximative de trois notions de convergence, en utilisant la terminologie développée dans les cours de calcul ; cette section est nécessairement imprécise ainsi qu'inexacte, et le lecteur doit se référer aux clarifications formelles des sections suivantes. En particulier, les descriptions ici n'abordent pas la possibilité que la mesure de certains ensembles puisse être infinie, ou que l'espace sous-jacent puisse présenter un comportement pathologique, et des hypothèses techniques supplémentaires sont nécessaires pour certaines des déclarations. Les affirmations de cette section sont cependant toutes correctes si est une suite de mesures de probabilité sur un espace polonais.
Les différentes notions de convergence formalisent l'affirmation selon laquelle la « valeur moyenne » de toute fonction « suffisamment agréable » devrait converger :
Pour formaliser cela, il faut spécifier soigneusement l'ensemble des fonctions considérées et le degré d'uniformité de la convergence.
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