Distance en variation totale (probabilités)

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités et en statistique, la distance en variation totale (ou distance de variation totale ou encore distance de la variation totale) désigne une distance statistique définie sur l'ensemble des mesures de probabilité d'un espace probabilisable. Soit deux mesures de probabilité sur un espace probabilisable . La distance en variation totale entre et est la quantité Il arrive que le facteur 2 n'apparaisse pas chez certains auteurs. Soit et deux variables aléatoires à valeurs dans le même espace. On peut aussi définir la distance en variation totale entre et comme la distance en variation totale entre la loi de et celle de . Autrement dit, on pose La distance en variation totale entre deux mesures de probabilité est une distance dont la valeur est toujours incluse dans [0,2]. La distance en variation totale entre deux mesures de probabilité vaut 2 si et seulement si les supports des deux mesures sont disjoints. On trouve parfois d'autres définitions pour la distance en variation totale. La formule suivante donne une définition équivalente à la première où le supremum est pris sur l'ensemble des fonctions mesurables à valeurs dans [-1,1]. De cette formule, on déduit la chose suivante. Si et sont absolument continues par rapport à une mesure commune sigma-finie et si on note et leurs dérivées de Radon-Nikodym respectives par rapport à , alors En d'autres termes, la distance en variation totale entre et correspond à la distance entre et pour la norme . Lorsque est dénombrable la formule suivante donne aussi une définition équivalente Pour tout couple de variables aléatoires tel que suit la loi et suit la loi , on a l'inégalité De plus, il existe un couple tel que et qui satisfait Autrement dit, on a la caractérisation suivante de la distance en variation totale Si est une famille de mesures de probabilité toutes absolument continues par rapport à une mesure commune -finie, alors il existe des variables aléatoires telles que pour tout , et pour tout Pour une mesure signée sur on définit sa norme en variation totale comme où est la décomposition de Jordan de la mesure .