Théorème min-max de Courant-Fischer

En algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le théorème min-max de Courant-Fischer donne une caractérisation variationnelle des valeurs propres d'une matrice hermitienne. Il permet donc de caractériser les valeurs singulières d'une matrice complexe quelconque. Il s'étend aux opérateurs compacts autoadjoints sur un espace de Hilbert, ainsi qu'aux opérateurs autoadjoints bornés inférieurement. Énoncé Soit A une matrice hermitienne n × n, de valeurs propres λ ≥ … ≥ λ (répétées selon leur multiplicité). Notons, pour tout k de 1 à n, G l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de ℂ et pour tout vecteur x non nul, R(A, x) le quotient de Rayleigh 〈''Ax'', ''x''〉/〈''x'', ''x''〉, où 〈∙, ∙〉 désigne le produit scalaire hermitien canonique. Alors, \lambda_k=\max_{V\in G_k}\min_{x\in V\atop x\ne0}R(A,x)=\min_{W\in G_{n-k+1}}\max_{y\in W\atop y\ne0}R(A,y) ou encore, par homogénéité : \lambda_k=\max_{V\in G_k}\min_{x\in V\atop|x|=1}\lang

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EUROPEAN MATHEMATICAL SOC2019

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