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Concept
Approximation BKW
Résumé
En physique, l'approximation BKW (en l'honneur de Léon Brillouin, Hendrik Anthony Kramers et Gregor Wentzel) est une méthode développée en 1926 qui permet d'étudier le régime semi-classique d'un système quantique. La fonction d'onde est développée asymptotiquement au premier ordre de la puissance du quantum d'action .
L'idée de base de la méthode BKW est que l'équation de Schrödinger se dérive de l'équation de propagation des ondes. On doit donc retrouver la mécanique classique dans la limite comme on retrouve l'optique géométrique lorsque la longueur d'onde dans la théorie de l'optique ondulatoire.
L'approximation BKW (pour les francophones européens) est également connue sous les initiales WKB (pour les anglophones et les francophones nord-américains), WKBJ, BWKJ et parfois WBK ou BWK. Le J supplémentaire est pour le mathématicien Harold Jeffreys, qui a développé en 1923 une méthode générale d'approximation pour des équations différentielles linéaires du second ordre, qui inclut l'équation de Schrödinger à une dimension. Les trois physiciens BKW n'avaient apparemment pas eu connaissance de ce travail.
De façon générale, la fonction d'onde est mise sous la forme ansatz :
Les deux fonctions inconnues sont l'amplitude A et l'action S, l'une de ces deux fonctions est en général considérée comme « lentement variable ». En fait seul le cas unidimensionnel où est utilisé, c'est ce cas que nous allons développer ici.
Notons la fonction d'onde, solution stationnaire de l'équation de Schrödinger, d'une particule de masse se déplaçant dans le potentiel :
L'approximation BKW consiste à écrire la fonction d'onde sous la forme
où est l'impulsion locale de la particule.
Notons le sens physique simple :
Dans la région classiquement permise plus la particule va vite, plus sa probabilité de présence diminue. En effet là où , la probabilité de présence sera proportionnelle à .
Dans la région classiquement interdite la probabilité de présence sera exponentiellement décroissante en .
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