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Concept
Loi de mélange
Résumé
En probabilité et en statistiques, une loi de mélange est la loi de probabilité d'une variable aléatoire s'obtenant à partir d'une famille de variables aléatoires de la manière suivante : une variable aléatoire est choisie au hasard parmi la famille de variables aléatoires donnée, puis la valeur de la variable aléatoire sélectionnée est réalisée. Les variables aléatoires sous-jacentes peuvent être des nombres réels aléatoires, ou des vecteurs aléatoires (chacun ayant la même dimension), auquel cas la répartition du mélange est une répartition à plusieurs variables.
Dans les cas où chacune des variables aléatoires sous-jacente est continue, la variable finale sera également continue et sa fonction de densité de probabilité est parfois appelée densité de mélange. La fonction de répartition (et la densité de probabilité si elle existe) peut être exprimée sous forme d'une combinaison convexe (par exemple une somme pondérée, avec des probabilités positives dont la somme est 1) d'autres fonctions de loi et de fonctions de densité. Les répartitions individuelles qui sont combinées pour former la loi du mélange sont appelées les composants du mélange, et les probabilités associées à chaque composant sont appelées les probabilités du mélange. Le nombre de composants dans la loi de mélange est souvent limitée, bien que dans certains cas, les composants peuvent être indénombrables.
Une distinction doit être faite entre une variable aléatoire dont la loi est une somme pondérée de composants, et une variable qui s'écrit comme la somme de variables aléatoires, auquel cas sa loi est donnée par le produit de convolution des lois des variables sommées. À titre d'exemple, la somme de deux variables aléatoires conjointement normalement distribuées, chacun avec des moyennes différentes, aura toujours une loi normale. D'un autre côté, une densité de mélange conçue comme un mélange de deux lois normales, avec des moyennes différentes, aura deux pics à condition que les deux moyennes soient assez éloignées, ce qui montre que cette loi est radicalement différente d'une loi normale.
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