Nombre carré centré

Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un carré avec un point placé en son centre et tous ses autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 points Ainsi, le n-ième carré centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté : {| |- align="center" | C4,1 = 1 | | | C4,2 = 1 + 4 = 5 | | | C4,3 = 5 + 8 = 13 | | | C4,4 = 13 + 12 = 25 |} Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième carré centré a un point central et n – 1 couches carrées.Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième carré centré comporte 4(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième carré centré, et faisant passer au n-ième : Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré égale donc 1 plus 4 fois la somme des entiers de 0 à n – 1 : Le quatrième nombre carré centré est : Les dix premiers nombres carrés centrés sont :1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 (voir la ). D'après son expression ci-dessus, le n-ième nombre carré centré égale 1 plus 4 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire Tn–1 = n(n – 1)/2 :Cette égalité peut se représenter par : center Pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs Tn–2, Tn–1, Tn, affectés des coefficients 1, 2, 1 : Le cas C4,2 = T0 + 2T1 + T2 = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes : center Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré est la somme des deux nombres carrés consécutifs n et (n – 1) : center Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré peut donc aussi s'écrire sous la forme :(trinôme du second degré sous forme canonique).Un entier c est donc carré centré si et seulement si 2c – 1 est un carré parfait. Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du n-ième nombre carré centré suit le motif « 1-5-3-5-1 ». Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4.