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Concept
Polygone de Newton
Résumé
En mathématiques, le polygone de Newton est un polygone du plan euclidien que l'on peut associer à un polynôme, lorsque les coefficients de ce dernier sont éléments d'un corps valué. Le polygone de Newton encode un certain nombre d'informations à propos de la factorisation d'un polynôme, et la localisation de ses racines.
Il est particulièrement utile lorsque les coefficients du polynôme sont éléments d'un corps local non archimédien, comme le corps des nombres p-adiques, ou celui des séries de Laurent sur un corps fini, mais il peut également être utilisé avec profit dans l'étude des polynômes à coefficients rationnels, ou des polynômes en plusieurs indéterminées.
Soient (K,v) un corps valué, et P(X) un polynôme à coefficients dans K. Quitte à diviser P par une puissance de X, puis par P(0), on peut supposer que P(0) = 1,
de sorte que P(X) s'écrive
où les coefficients , ..., sont éléments de K, et (ainsi, ).
Considérons l'ensemble S des points du plan
pour , où l'on ignore les indices i pour lesquels . Le polygone de Newton de P est alors la frontière inférieure de l'enveloppe convexe de cet ensemble S. Il s'agit donc d'une ligne brisée, réunion de segments dont les extrémités sont dans S.
En voici une construction plus explicite. Considérons l'axe des ordonnées, et faisons le tourner autour de l'origine dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, jusqu'à ce qu'il rencontre l'un des points de S ; on obtient alors le premier segment du polygone de Newton. Si l'on continue à faire tourner l'axe, autour du point cette fois, il finit par rencontrer un point , et on obtient ainsi le second segment . En répétant cette opération autant de fois que possible, on finit par obtenir le polygone de Newton.
Remarques.
Certains auteurs définissent le polygone de Newton comme la frontière supérieure de l'enveloppe convexe de l'ensemble des points . Les propriétés mentionnées dans la deuxième partie de cet article sont vraies quelle que soit la convention choisie, à la différence près qu'il faut changer le signe des pentes.
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