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Concept
Continuité de Scott
Résumé
En mathématiques pour l'informatique, étant donné deux ensembles partiellement ordonnés P et Q, une fonction f : P → Q entre eux est Scott-continue (du nom du mathématicien Dana Scott) si elle préserve tous les suprema dirigés, c'est-à-dire que pour chaque sous-ensemble orienté D de P avec supremum dans P, son a un supremum dans Q, et ce supremum est l'image du supremum de D, c'est-à-dire , où est la jointure dirigée. Lorsque est le poset des valeurs de vérité, c'est-à-dire l'espace de Sierpiński, les fonctions Scott-continues sont des fonctions caractéristiques, et donc l'espace de Sierpiński est le topos de classification des ensembles ouverts.
Un sous-ensemble O d'un ensemble partiellement ordonné P est appelé Scott-ouvert si c'est un ensemble fermé par le haut et s'il est inaccessible par jointures dirigées, c'est-à-dire si tous les ensembles dirigés D avec supremum en O ont une intersection non vide avec O. Les sous-ensembles Scott-ouverts d'un ensemble partiellement ordonné P forment une topologie sur P, la topologie de Scott. Une fonction entre des ensembles partiellement ordonnés est Scott-continue si et seulement si elle est continue par rapport à la topologie de Scott.
La topologie de Scott a d'abord été définie par Dana Scott pour des treillis complets et plus tard définie pour des ensembles partiellement ordonnés.
Les fonctions continues de Scott apparaissent dans l'étude de modèles pour les calculs lambda et la sémantique dénotationnelle des programmes informatiques.
Une fonction continue de Scott est toujours monotone.
Un sous-ensemble d'un ordre partiel complet dirigé est fermé par rapport à la topologie de Scott induite par l'ordre partiel si et seulement si c'est un ensemble inférieur et fermé sous suprema de sous-ensembles dirigés.
Un ordre partiel complet dirigé (dcpo) avec la topologie de Scott est toujours un espace de Kolmogorov (c'est-à-dire qu'il satisfait l'axiome de séparation T 0 ). Cependant, un dcpo avec la topologie de Scott est un espace de Hausdorff si et seulement si l'ordre est trivial.
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