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Concept
Théorème de Gauss (physique)
Résumé
En physique, le théorème de Gauss relie le flux d'un champ de vecteurs sortant d'une surface fermée aux entités à l'origine du champ (charges électriques pour le champ électrique, masses pour le champ gravitationnel). Un corollaire notable du théorème est que les entités extérieures à la surface ne contribuent pas au flux.
Ce théorème, qui est en fait une application du théorème de la divergence, a été démontré indépendamment par Carl Friedrich Gauss en 1813 (pour la gravitation et dans un cas géométrique particulier), Siméon Denis Poisson en 1824 (pour l'élasticité), Mikhaïl Ostrogradski en 1826 (pour les flux de chaleur mais avec une démonstration générale), George Green en 1828 (pour des cas particuliers) et Pierre-Frédéric Sarrus en 1828 (pour les corps flottants).
Le flux du champ électrique sortant d'une surface fermée est proportionnel à la charge électrique totale contenue dans le volume délimité par cette surface. La constante de proportionnalité est , où est la permittivité diélectrique du vide.
Il est toujours possible de calculer le champ électrique généré par une distribution de charge en intégrant la loi de Coulomb sur l'espace. Cette méthode étant souvent impraticable, le théorème de Gauss nous permet de simplifier ce calcul dans les cas ou répartition de charge possède des symétries permettant de choisir une surface de Gauss commode.
La méthode générale pour trouver le champ électrique en un point de l'espace peut être résumée comme suit.
Un cas simple ou le théorème de Gauss permet de faciliter ce calcul est la boule uniformément chargée.
On considère une boule uniformément chargée de rayon et de charge totale . On peut la représenter par une distribution de charge
avec .
En coordonnées sphériques, , on remarque que le système est invariant par rotation d'angle quelconques, on a donc une symétrie sphérique. Le champ électrique généré par cette distribution de charges ne dépendra donc que de la distance au centre de la sphère donc .
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