Cône (topologie)

En topologie, et en particulier en topologie algébrique, le cône CX d'un espace topologique X est l'espace quotient :du produit de X par l'intervalle unité I = [0, 1]. Intuitivement, on forme un cylindre de base X et on réduit une extrémité du cylindre à un point. Le cône construit sur un point p de la droite réelle est le segment {p} × [0,1]. Le cône construit sur deux points {0,1} est un "V" avec les extrémités en 0 et 1. Le cône construit sur un intervalle I de la droite réelle est un triangle plein, aussi appelé 2-simplexe (voir l'exemple final). Le cône construit sur un polygone P est une pyramide de base P. Le cône construit sur un disque est le cône solide de la géométrie classique (d'où le nom de ce concept). Le cône construit sur un cercle est la surface du cône précédent :Ce dernier est homéomorphe au disque fermé. Plus généralement le cône construit sur une n-sphère est homéomorphe à la (n+1)-boule fermée. Le cône construit sur un n-simplexe est un (n+1)-simplexe. Le cône d'un espace non vide est contractile (en particulier connexe par arcs et simplement connexe), puisqu'il se rétracte par déformation sur son sommet par l'homotopie ht(x,s) = (x, (1–t)s). Le cône est utilisé en topologie algébrique précisément parce qu'il transforme un espace en un sous-espace d'un espace contractile : X = X × {1} ⊂ CX. Lorsque X est compact, le cône CX peut être visualisé comme la réunion des segments joignant tout point de X à un point unique. Cependant, cette image ne fonctionne plus si X n'est pas quasi-compact ou pas séparé, car généralement la topologie quotient sur CX est plus fine que la topologie de la réunion des segments joignant X à un point. Si X est un CW-complexe, alors CX aussi. Si deux espaces ont même type d'homotopie, leurs cônes aussi. Si f : X → Y est une fonction continue, on définit le cône C de l'application f comme le quotient de la réunion disjointe CX⊔Y par l'identification de chaque élément x de X ⊂ CX avec son image f(x) dans Y. L'inclusion de Y dans C est alors une cofibration.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (2)

Concepts associés (2)

Computational tools for twisted topological Hochschild homology of equivariant spectra

Kathryn Hess Bellwald, Inbar Klang

Twisted topological Hochschild homology of Cn-equivariant spectra was introduced by Angeltveit, Blumberg, Gerhardt, Hill, Lawson, and Mandell, building on the work of Hill, Hopkins, and Ravenel on norms in equivariant homotopy theory. In this paper we intr ...

ELSEVIER2022

A Shadow Perspective on Equivariant Hochschild Homologies

Kathryn Hess Bellwald, Inbar Klang

Shadows for bicategories, defined by Ponto, provide a useful framework that generalizes classical and topological Hochschild homology. In this paper, we define Hochschild-type invariants for monoids in a symmetric monoidal, simplicial model category V, as ...

OXFORD UNIV PRESS2022

Suspension (mathématiques)

En mathématiques, la suspension est une construction topologique définie par écrasement des extrémités d'un cylindre. Elle permet notamment de définir les sphères S par récurrence. Si l'espace topologique est pointé, sa suspension réduite est le quotient de la suspension par le cylindre sur le point de base, c'est un espace pointé avec un point base canonique. La suspension est un foncteur de la catégorie des espaces topologiques (pointés ou non) dans elle-même.

Joint (mathématiques)

En mathématiques, le joint de deux espaces topologiques X et Y est une construction topologique ; c'est l'espace formé de tous les segments joignant les points de X aux points de Y. Le joint de deux espaces topologiques X et Y, noté X ∗ Y, est le quotient du cylindre sur le produit cartésien de ces espaces, X×Y×I, avec les identifications et . Le sous-espace X ×Y×{0} a donc été écrasé sur X et le sous-espace X ×Y×{1} sur Y. Si ces deux espaces sont pointés, leur joint réduit est le quotient du joint par le cylindre sur le couple des points de base.