Suspension (mathématiques)

En mathématiques, la suspension est une construction topologique définie par écrasement des extrémités d'un cylindre. Elle permet notamment de définir les sphères S par récurrence. Si l'espace topologique est pointé, sa suspension réduite est le quotient de la suspension par le cylindre sur le point de base, c'est un espace pointé avec un point base canonique. La suspension est un foncteur de la catégorie des espaces topologiques (pointés ou non) dans elle-même. Le théorème de Freudenthal montre que les groupes d'homotopie d'un espace s'identifient à ceux de sa suspension, à un décalage d'un degré près et en dessous du double de la connexité de l'espace. La suspension permet alors de définir la stabilisation d'un espace par son associé. En dynamique, la suspension est un procédé (similaire en un certain sens à la suspension topologique) permettant de construire un système continu à partir d'un système discret. La suspension SX d'un espace topologique X, parfois dite « non réduite » ou « libre », par opposition à la suspension réduite décrite ci-dessous, est l'espace quotient du produit de X par l'intervalle unité I = [0, 1]. Intuitivement, on forme un cylindre de base X et on réduit chacune des deux extrémités du cylindre à un point. On peut aussi voir SX comme deux exemplaires du cône CX de X, recollés le long de leur base. C'est aussi, en tant que cône d'une application constante de X sur un point, un quotient d'un seul exemplaire de CX. C'est également le joint de X et de l'espace discret S à deux éléments. À toute application continue f : X → Y, on associe l'application Sf : SX → SY définie par Sf([x, t]) = [f(x), t], ce qui fait de S un foncteur. Grossièrement, le foncteur S augmente de 1 la dimension de l'espace : il envoie la n-sphère sur la (n + 1)-sphère, pour tout entier naturel n. Il décale de 1 les groupes d'homologie et d' : Si X est un CW-complexe, alors SX aussi. Si deux espaces ont même type d'homotopie, leurs suspensions aussi.